Мартин Гарднер - Математические головоломки и развлечения
Логарифмическая спираль возникает и во многих других геометрических построениях, связанных с числом φ. Один из изящных способов вычерчивания логарифмической спирали основан на использовании равнобедренного треугольника, стороны которого находятся в золотом отношении к основанию (рис. 129).
Рис. 129 Логарифмическая спираль, образованная «вращающимися треугольниками».
Углы при основании такого треугольника равны 72°, что вдвое больше угла при вершине, равного 36°. Именно из таких золотых треугольников построена пентаграмма. Точка пересечения биссектрисы угла при основании с противолежащей стороной делит эту сторону в среднем и крайнем отношении, при этом весь треугольник разбивается на два меньших треугольника, один из которых подобен исходному. В свою очередь этот треугольник также можно разбить на два еще меньших треугольника, проведя в нем биссектрису угла при основании, и т. д. Продолжая неограниченно этот процесс, мы получим бесконечную последовательность вращающихся треугольников, чьи вершины, так же как и вершины вращающихся квадратов, описывают логарифмическую спираль. Полюс этой спирали лежит на пересечении двух медиан, проведенных пунктиром.
Логарифмическая спираль — единственный тип спирали, не меняющей своей формы при увеличении размеров. Это свойство объясняет, почему логарифмическая спираль так часто встречается в природе. Например, по мере роста моллюска Nautilus раковина его, разделенная внутренними перегородками, увеличивается в своих размерах, закручиваясь по логарифмической спирали. При этом домик его не меняет формы: если центральную часть раковины посмотреть под микроскопом, мы увидим в точности такую же спираль, какая получилась бы, если бы раковина выросла до размеров галактики и мы разглядывали бы ее с большого расстояния.
Логарифмическая спираль тесно связана с числами Фибоначчи (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34…; каждое последующее число, начиная с третьего, равно сумме двух предыдущих). Числа Фибоначчи часто встречаются в живой природе. Обычно в качестве примера приводят расположение листьев на черенке, лепестков некоторых цветков и семян в плодах. И здесь дело не обходится без числа φ, поскольку отношение двух последовательных членов ряда Фибоначчи тем ближе к числу φ, чем дальше мы продвинемся от начала ряда.
Так, 5/3 уже дает хорошее приближение к φ (прямоугольник с отношением сторон 5:3 трудно отличить от золотого прямоугольника), еще лучшее приближение дает 8/5, но его превосходит отношение 21/13, равное 1,615. Это свойство присуще не только числам Фибоначчи.
Начав с любых двух чисел и построив аддитивный ряд, в котором каждый член равен сумме двух предыдущих (например, ряд 7, 2, 9, 11, 20…), мы обнаружили, что отношение двух последовательных членов такого ряда также стремится к числу φ: чем дальше мы будем продвигаться от начала ряда, тем лучше будет приближение.
Это нетрудно понять, если воспользоваться вращающимися квадратами. Начнем с двух небольших квадратов любых размеров, например с квадратов А и В на рис. 130.
Рис. 130 Квадраты, показывающие, что отношение последующего члена любого аддитивного ряда к предыдущему стремится к числу φ.
Сторона квадрата С равна сумме сторон квадратов А и В; сторона квадрата D равна сумме сторон квадратов В и С; сторона квадрата Е — сумме сторон квадратов С и D и т. д. Независимо от длин сторон двух первых квадратов вращающиеся квадраты образуют прямоугольник, который все меньше и меньше отличается от золотого.
Тесную связь между числом φ и числами Фибоначчи наглядно демонстрирует классический геометрический парадокс. Если на бумаге в клеточку начертить квадрат 8 х 8 и разрезать его на 4 части так, как показано на рис. 131, то из этих частей можно составить прямоугольник, площадь которого равна 65 единичным клеткам, а не 64, как у исходного квадрата.
Рис. 131 Парадокс, основанный на свойствах произвольного аддитивного ряда.
Парадокс объясняется просто: части квадрата неплотно примыкают друг к другу вдоль диагонали и между ними остается узкий зазор. Его площадь равна «лишней» клетке. Заметим, что длины сторон трапеций и треугольников, на которые разрезали квадрат, выражаются числами Фибоначчи. На самом деле парадокс будет возникать и в том случае, если квадрат разрезан на трапеции и треугольники, длины которых выражаются членами любого аддитивного ряда, хотя при этом в одних случаях построенный из частей квадрата прямоугольник будет иметь бблыную, а в других — меньшую площадь по сравнению с квадратом в зависимости от того, как примыкают части вдоль диагонали: есть ли между ними зазор или они перекрываются. Это обстоятельство связано с тем, что отношение последующего члена аддитивного ряда к предыдущему то превосходит φ, то становится меньше этого числа.
Площадь прямоугольника, составленного из частей разрезанного квадрата, в точности совпадает с площадью квадрата лишь в одном случае: если длины сторон трапеций и треугольников взяты из членов аддитивного ряда 1, φ, φ+1, 2φ+1, 3φ + 2… (другой — «мультипликативный» — способ записи того же ряда выглядит так: 1, φ, φ2, φ3, φ4….). Это единственный аддитивный ряд, в котором отношение любых двух последовательных членов постоянно (и, конечно, равно φ). Это тот самый «золотой» ряд, которым тщетно стремятся стать все аддитивные ряды.
Обширная литература, посвященная числу φ и связанным с ним вопросам, не менее эксцентрична, чем литература о квадратуре круга, так или иначе затрагивающая свойства другого иррационального числа — π. [Добавим несколько замечаний, взятых из книги Н. von Baravalle «Geometrie als Sprache der Formen».
Связь φ с числом Фибоначчи иллюстрируется лучше всего таким образом. Если взять разложение 1/φ в цепную дробь
и построить «подходящие дроби», откидывая «хвосты», то можно получить ряд чисел:
Продолжая в том же духе, получим ряд подходящих дробей:
В этом ряду каждый знаменатель становится числителем у следующей дроби. Числители и знаменатели образуют ряд Фибоначчи:
Так как приближение к 1/φ можно начинать с любых двух чисел, то читатель сразу увидит разгадку следующего фокуса.
Попросите двух человек написать на длинной бумажке два любых числа одно под другим, а третьего — подсчитать и записать их сумму. Перегните бумажку, оставив видными только два последних числа, и опять попросите написать их сумму; опять перегните бумажку и повторите просьбу сложить два числа. Повторив эту операцию раз 10–15, попросите разделить предпоследнее число на последнее (с точностью, скажем, до трех знаков). Результат вы можете предсказать заранее: он будет 0,618!
Наконец, составим последовательность равенств:
И здесь коэффициенты — члены ряда Фибоначчи!]
Классическим примером может служить объемистый (457 страниц) труд Адольфа Цейзинга «Der goldene Schnitt» («Золотое сечение»), опубликованный в 1881 году. Цейзинг доказывает, что из всех пропорций именно золотое сечение дает наибольший художественный эффект и доставляет наибольшее удовольствие при восприятии. Именно в золотом сечении, по Цейзингу, кроется ключ к пониманию всей морфологии (в том числе строения человеческого тела), искусства, архитектуры и даже музыки. В том же духе выдержаны и книги «Nature's Harmonic Unity» («Гармоническое единство природы») С. Колмена A913) и «The Curves of Life» («Кривые жизни») Т. Кука A914).
Вряд ли будет преувеличением сказать, что экспериментальная эстетика берет свое начало с попыток Густава Фехнера эмпирически обосновать взгляды Цейзинга. Немецкий физиолог измерил отношения сторон у тысяч окон, картинных рам, игральных карт, книг и других прямоугольных предметов, проверил, в каком отношении поперечные перекладины могильных крестов на кладбищах делят вертикальные планки, и обнаружил, что в большинстве случаев полученные им числа мало отличаются от φ. Фехнер разработал целый ряд остроумных тестов, в которых испытуемому предлагалось выбрать «милый его сердцу» прямоугольник из большого набора прямоугольников с различным соотношением сторон, нарисовать самый «приятный» многоугольник, провести поперечную линию и превратить вертикальную палочку в крест, выбрав место пересечения перекладин по своему усмотрению, и т. д. И здесь многократно проведенные опыты показали, что испытуемые отдают предпочтение отношениям, близким к числу φ. Разумеется, основополагающие работы Фехнера были грубы, и более поздние исследования, проводимые в аналогичном направлении, позволяли прийти лишь к более расплывчатому утверждению о том, что большинство людей отдают предпочтение прямоугольнику, занимающему промежуточное положение где-то между квадратом и прямоугольником, у которого основание вдвое больше высоты.
