Яков Перельман - Развлечения со спичками
Далее: мы знаем, что перед этим из 2-й кучки было переложено в 3-ю столько спичек, сколько имелось в 3-й кучке. Значит, 24 — это удвоенное число спичек, бывших в 3-й кучке до второго перекладывания. Отсюда узнаем распределение спичек после первого перекладывания:
Легко сообразить, что раньше первого перекладывания, т.-е. до того, как из 1-й кучки было переложено во вторую столько спичек, сколько в этой второй имелось — распределение спичек было такое:
Это и есть первоначальное распределение спичек по кучкам. Нетрудно убедиться, проделав требуемые задачей переложения, что ответ верен.
Еще немного алгебры
Задача 30-я
Любопытно, что предыдущую задачу можно было бы решить даже и в том случае, если бы в условии не указывалось точного числа спичек во всех кучках. А именно, задачу можно было предложить в таком виде:
Из полного коробка вынуты несколько спичек, а остальные распределены по трем кучкам. Потом сделаны были следующие переложения: из 1-й кучки во 2-ю столько, сколько было во 2-й; из 2-й в 3-ю столько, сколько было в 3-й; из 3-й в 1-ю столько, сколько было в 1-й, — и тогда во всех кучках оказалось спичек поровну. Каково было первоначальное расположение спичек в кучках?
Решение
Пусть после третьего перекладывания оказалось каждой кучке по а спичек, т.-е. распределение стало такое:
До этого, — как вы легко сообразите сами — распределение было
Более раннее распределение:
А еще раньше:
Это и есть первоначальное распределение спичек по кучкам. Возможно оно, очевидно, лишь в том случае, если число спичек а делится без остатка на 8. Значит, число а может равняться 8, 16, 24 и т. д., а число спичек во всех трех кучках (3а) могло быть только 24, 48, 72 и т. д.
Но в коробке обычно бывает, примерно, около 55 спичек. Мы знаем, что из коробка было вынуто несколько спичек. Ясно, что единственное подходящее число в предыдущем ряду 48. Это и есть ответ задачи.
Наше спичечное производство
Знаете ли вы, сколько всего спичек потребляется ежегодно всеми жителями нашего Союза? На первый взгляд кажется, что узнать это очень трудно: кто же ведет учет потребленным им спичкам! Но вопрос разрешается очень просто, если подойти к нему с другого конца: узнать, сколько спичек изготовляется у нас в течение года. Определить это уже гораздо проще, так как производительность всех спичечных фабрик Союза учитывается. Вся союзная выработка спичек в 1926 г. намечена в количестве 2.400.000 ящиков.
Так как в ящике 1000 коробков, то всего изготавляется у нас 2.400.000.000 коробков.
Вы яснее представите себе это огромное число коробков, если вообразите их наложенными один на другой. Какой высоты получился бы столб? Это нетрудно подсчитать, если знать, что толщина одной коробки 11/2 сантиметра. Выполним умножение:
11/2 х 2.400.000.000 = 3.600.000.000 сантиметров.
Так как в одном километре 100 x 1000, т.-е. 100.000 сантиметров, то полученное нами число составляет 36.000 километров. Это чуть не втрое больше поперечника земного шара! Не много не хватает, чтобы окружить этим столбом всю землю по экватору (для этого понадобилось бы 40.000 километров).
Еще более внушительные числа получаются, если подсчитать число отдельных спичек, изготовляемых в нашем Союзе в течение года. Будем считать, ради удобства расчета, что в каждом коробке 50 спичек (обычно бывает немного больше). Тогда имеем:
50 х 2.400.000.000 120.000.000.000 спичек.
Как прочесть это число? Единица с 6-ю нулями есть миллион; единица с 9-ю нулями миллиард. Значит, наше число читается так: сто двадцать миллиардов.
Выложенные в одну линию, конец к концу, эти 120 миллиардов спичек имели бы в длину 5 х 120.000.000.000= 600.000.000.000 сантиметров, или 6.000.000 километров!
Для такого длинного ряда спичек не нашлось бы места не только на всем земном шаре, но даже в пределах от Земли до Луны, потому что расстояние от нас до ночного светила составляет „только“ 400.000 километров. Наша спичечная линия и 15 раз длиннее этого расстояния, — как наглядно показано на рис. 43.
Интересно еще подсчитать, какой об'ем занимают все эти спички, вместе взятые. Умножив длину спички — 50 миллиметров— на ее толщину (2 мм) и ширину (2 мм), получаем об‘ем одной спички 50 х 2 х 2 = 200 куб. миллиметров. Затем остается перемножить
200 х 120.000.000.000 = 24.000.000.000.000 куб. мм.
Так как в одном куб. метре заключается
1.000 х 1.000 х 1.000 = 1.000.000.000 куб. мм,
то об‘ем получается в 24.000 куб. метров! Образовалась бы прямая горка, примерно, таких размеров: 100 метров в длину, 24 метра в ширину и 10 метров в высоту (потому что 100 х 24 х 10 = 24.000).
Миллион спичек
Задача 31-я
Сейчас мы забрели в мир чисел-великанов, которые с трудом охватываются нашим воображением. Правда, по отношению к спичкам такой числовой исполин, как миллион — довольно подходящая числовая мера: фабрика, вырабатывающая в одни сутки миллион спичек — не редкость. А между тем, чтобы только отсчитать этот миллион спичек одну за другой, откладывая ежесекундно по спичке, потребовалось бы времени больше суток. Сколько же именно?
Решение
В сутках 24 x 60 x 60 = 86.400 секунд. Поэтому, если заниматься счетом спичек без перерыва день и ночь, то в течение одних суток удалось бы отсчитать всего 86.400 штук. А чтобы отсчитать миллион спичек потребовалось бы почти 12 суток беспрерывного счета!
Биллион и триллион
Иному читателю покажется, пожалуй, что вырабатывая по миллиону спичек в сутки, фабрика довольно скоро доберется до такого числового великана, как биллион, т.-е. миллион миллионов. Думать так — значит не понимать, что такое биллион.
В самом деле. Мы сейчас видели, что годовая производительность всех спичечных фабрик нашего Союза не превышает 120 миллиардов, т.-е. 120.000 миллионов штук. Значит, чтобы изготовить 1.000.000 миллионов (т.-е. биллион) спичек, потребовалось бы более 8 лет! А одна фабрика, выделывающая по миллиону спичек в сутки, справилась бы с этим только в миллион суток, т.-е. примерно в 3.000 лет!
Следующий числовой исполин, триллион, — в миллион раз больше биллиона[5]. Если триллион спичек выложить, конец к концу, в один прямой ряд, то знаете ли, как далеко вытянется этот ряд? На 5 триллионов сантиметров, т.-е. на 50 биллионов (50.000.000.000.000) километров! Световой луч, пробегающий 300.000 километров в секунду, делает в год 91/2 биллионов километров; следовательно, вдоль нашей спичечной линии луч света будет скользить от одного конца до другого 5 лет! Это значит, что триллион спичек можно было бы протянуть от нашей планеты дальше звезды альфы в созвездии Центавра!
Не думаю, чтобы таким сопоставлением я заметно облегчил вам понимание огромности триллиона: звездные расстояния едва ли не труднее представлять себе, чем исполинские числа. Но полезно знать, по крайней мере, что оба представления — триллиона и звездных расстояний — одного порядка трудности.
V. Немного геометрии на спичках
Задача 32-я
Попросите товарища положить на стол одну спичку горизонтально. Он положит, разумеется, так:
Затем попросите его положить возле первой спички вторую спичку вертикально. Сделает он это примерно так:
Товарищ ваш и не подозревает, что вы его "поддели". Боюсь, что вы и сами этого не подозреваете. Ведь задача-то решена неверно!
Решение
Обе спички (рис. 45) горизонтальны! Вы удивлены?
Но подумайте: спичка, лежащая на горизонтальной поверхности стола, может ли иметь вертикальное направление? Вертикальное направление это направление сверху вниз, к земле (точнее, к центру земного шара), — а как бы вы ни положили спичку на стол, она не будет направлена к земле.
Девяносто девять человек из ста делают эту ошибку, — не исключая даже и иных математиков. Едва ли ваш товарищ будет тот сотый, который не попадет в просак.
Два четыреугольника
Задача 33-я
На рис. 46 изображен четыреугольник из 6 спичек, площадь которого вдвое больше площади квадрата со стороною, равною одной спичке. Так как длина спички вам известна — 5 см, то вы легко определите площадь вашего четыреугольника в сантиметрах: 5 x 10 = 50 кв. см.
