Мартин Гарднер - Математические головоломки и развлечения
Теперь вам больше не удастся совместить себя и отражение поворотом на 180° вокруг вертикальной или любой другой оси.
Отсюда видна энантиоморфная природа нашего отражения.
Для иллюстрации того, как общепринятое соглашение о вращении предметов вокруг вертикальной оси приводит к заключению о перестановке в зеркале правого и левого не только у нас самих, но и у окружающих предметов, рассмотрим обычную карту Америки, на которой север находится вверху, а восток — справа. Чтобы увидеть зеркальное отражение этой карты, мы обычно вращаем ее по направлению к зеркалу вокруг оси север — юг. Несомненно, такая привычка появилась от того, что большая часть движений, которые мы делаем, изучая окружающие предметы, представляет собой вращение вокруг вертикальной оси. Если бы, например, карта висела на стене напротив зеркала, мы бы сначала посмотрели в карту, а потом повернулись бы вокруг вертикальной оси, чтобы увидеть отражение. В обоих случаях восток был бы у нас слева, но север оставался бы всегда наверху. Однако если для того, чтобы увидеть зеркальное отражение, мы повернем карту вокруг оси восток — запад или будем смотреть на отражение, стоя на голове, то восток у нас окажется справа, зато север переместится вниз. Таким образом, оказывается, что зеркало перевернуло верх и низ, а не правое и левое. Единственной определенной координатной системой является система, которую наблюдатель может привязать к окружающим предметам, а координатные оси при этом выбираются так, чтобы начало координат можно было поместить в любую точку пространства, доступную восприятию наблюдателя. Описывая относительное расположение частей объекта, мы обычно так располагаем координатную систему, чтобы начало координат оказалось в самом объекте. Тогда координатные оси верх — низ, сзади — спереди и правое — левое будут соответствовать осям наблюдателя. Благодаря движению объекта или самой координатной системы (то есть наблюдателя) предметы в такой системе координат вращаются и некоторые координаты объекта будут менять знак. В результате вращения предмета вокруг вертикальной оси меняются знаки его координат правое — левое и вперед — назад; вращение вокруг оси правое — левое меняет знак координат вперед — назад и верх — низ; наконец, вращение вокруг оси вперед — назад меняет знак координат верх — низ и правое — левое. Поскольку система координат связана с наблюдателем, вращение наблюдателя не влияет на знаки координат частей его тела. Таким образом, если мы смотрим на себя в зеркало, стоя на голове, мы все равно ошибочно считаем, будто зеркало меняет местами правое и левое, потому что, перевернув себя, мы одновременно перевернули и систему координат.
После того как это письмо было опубликовано в Scientific American (май 1958 года), журнал получил следующее письмо от Р. С. Винера:
Уважаемая редакция!
Прочитав интересную заметку Тширги и Тэйлора по поводу того, почему зеркало меняет местами правое и левое и не может поменять верх и низ, я решил проверить некоторые их наблюдения.
Я повесил над платяным шкафом на стену напротив зеркала карту западной части Лонг-Айленда в проливе Саунд. Стоя на голове на полу перед зеркалом, я обнаружил, что не вижу всего отражения. Пара ног — вот единственное, что мне было видно. Одну из них я узнал. Это была нога, которую я обычно называю левой, и она закрывала часть местности вокруг Бридж-порта, в то время как вторая нога находилась в окрестностях Ист-Ривер. Затем я проделал эксперимент, надев пакет на «левую» ногу. Теперь пакет болтался в районе Бридж-порта. Эксперимент показался мне не совсем завершенным, поэтому я выдвинул из комнаты шкаф, снял со стены зеркало и поставил его на пол, прислонив к стене.
Я опять встал на голову перед зеркалом. Отражение двусторонне симметричного с виду существа, стоящего на голове с пакетом, надетым на ногу, так испугало меня, что я вообще прекратил эксперимент.
[Удивительно, как можно запутать простой вопрос. Мы просто привыкли любой вопрос принимать серьезно, не задумываясь над тем, имеет ли смысл сама его постановка.
Сказав, что зеркало меняет местами правое и левое, мы вообще не сказали ничего осмысленного. Если справа от зеркала было окно, то и я и мое отражение стоим к окну правым боком. Если под зеркалом есть пол, то и я и мое отражение стоим на полу, так что если смотреть на задачу с такой точки зрения, то никакого парадокса нет. Парадокс возникает только тогда, когда вы будете пытаться совместить себя с изображением. В обыденной жизни мы забываем о том, что сравнивать ориентацию можно, только совместив предметы в одном месте (и в одно время). Наше пространство так устроено, что мы можем переносить предметы параллельно самим себе и сравнивать их ориентацию. Именно так мы убеждаемся, что правая перчатка не совпадает с левой, а правый и левый носок не отличаются друг от друга. Сравнивать предметы на расстоянии не имеет смысла, если не проводить «в уме» операцию их совмещения. Мы привыкли еще и к тому, что в нашем пространстве тела можно поворачивать как угодно и они не будут превращаться из левого в правое или наоборот. Поэтому зеркальное изображение — новый элемент преобразования, которого нет в нашем мире. Но пусть к нам действительно пришел зеркальный человек, как бы мы его сравнили с собой? Подошли бы к нему, стали в затылок и увидели, что у него правая и левая стороны расположены наоборот. Ну а если этот зеркальный человек ходил бы еще вверх ногами? Тогда мы сказали бы, что у него переставлены верх и низ. В действительности оба утверждения тождественны, так как отличаются лишь на поворот в 180° относительно горизонтальной оси.
Когда мы сравниваем себя с изображением в зеркале, то мысленно заходим за зеркало и становимся в затылок изображению. Мы уверены, что по дороге нас никто не перевернет вверх ногами. Ну а если зеркало стоит не у стены, а прикреплено к потолку или к полу, что мы видим тогда? Поменялись ли местами голова и ноги или правое и левое? Еще раз подумайте, что надо сказать относительно вашего приятеля (не его изображения, а его самого), который стал перед вами на голову: у него поменялись (по сравнению с вами) одновременно и верх и низ и правое и левое. Вы, конечно, скажете, что у него ничего не поменялось — и будете правы: вращение ничего и не меняет. Таким образом, слова «поменялись верх и низ» или «поменялись правое и левое» означают то же самое. Почему же мы этого не видим на примере с зеркалом? Просто потому, что нам легче представить себе, что мы обошли зеркало сбоку, чем перелезли через него сверху и спустились вниз головой. Если вы стоите на зеркальном полу, то вам естественней думать, что поменялись верх и низ. Чтобы совсем себя запутать, подумайте, что будет, если вы ляжете на пол ногами к висячему зеркалу. Что теперь поменялось?
Таким образом, вопрос поставлен неправильно, отсюда и парадокс. Можно упростить опыт, и тогда парадокс исчезнет. Пусть на полу вертится бильярдный шар (вокруг своей вертикальной оси).
Закрутим рядом другой такой же шар, но в обратную сторону (он имитирует зеркальное изображение первого). Как лучше сказать о втором шаре: что у него представлено — верх и низ или правое и левое? Ясно, что это все равно.]
Глава 16. ПЯТЬ ПЛАТОНОВЫХ ТЕЛ
Правильным многоугольником называется ограниченная прямыми плоская фигура с равными сторонами и равными внутренними углами. Ясно, что таких фигур бесконечно много. Аналогом правильного многоугольника в трехмерном пространстве служит правильный многогранник: пространственная фигура с одинаковыми гранями, имеющими форму правильных многоугольников, и одинаковыми многогранными углами при вершинах. На первый взгляд может показаться, что многогранников также бесконечно много, но на самом деле их, как выразился однажды Льюис Кэрролл, «вызывающе мало». Существует лишь пять правильных выпуклых многогранников: правильный тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр (рис. 90).
Рис. 90 Пять Платоновых тел. Куб и октаэдр взаимны: если у одного из них попарно соединить отрезками прямых центры всех граней, имеющих общее ребро, то проведенные отрезки образуют ребра другого многогранника. Додекаэдр и икосаэдр также взаимны, а тетраэдр взаимен с самим собой (точнее, с другим, равным ему тетраэдром).
Первое систематическое исследование пяти правильных тел было, по-видимому, предпринято еще в глубокой древности пифагорейцами. Согласно их воззрениям, тетраэдр, куб, октаэдр и икосаэдр лежат в основе традиционных четырех элементов: огня, земли, воздуха и воды. Додекаэдр пифагорейцы по непонятным соображениям отождествляли со всей Вселенной. Поскольку взгляды пифагорейцев подробно изложены в диалоге Платона «Тимей», правильные многогранники принято называть Платоновыми телами. Красота и удивительные математические свойства пяти правильных тел неоднократно привлекали к себе внимание ученых и после Платона.
