Анатолий Фоменко - Числа против лжи.
(1) Либо qi = pi (то есть координата не меняется), либо pi переставляется с pi-1, либо pi переставляется с pi+1, то есть с одной из «соседних координат» вектора p.
(2) Либо qi = pi, либо qi совпадает с числом p1 + pi+1.
Ясно, что каждый такой вектор (династия) q можно рассматривать как летописную династию, получившуюся из реальной династии p в результате «ее размножения» под воздействием ошибок (1) и (2) летописцев. Другими словами, мы берем каждую реальную династию p = (p1, p2,…, pk) из списка D и применяем к ней «возмущения» (1) и (2). То есть, либо мы меняем местами два соседних числа pi и pi+1, либо заменяем какое-то число p суммой pi + pi+1, или суммой pi-1 + pi. Для каждого номера i мы применяем указанные операции только по одному разу, то есть не рассматриваем «длинные итерации» операций на одном и том же месте i. В результате из одной династии p получается некоторое число виртуальных династий {q = vir(p)}. Количество таких виртуальных династий легко подсчитать.
Таким образом, каждая «Точка» из множества D «размножается» и порождает некоторое множество «виртуальных точек», ее окружающих, так сказать порождает «окрестное облако», «шаровое скопление», рис. 5.16. Некоторые из получившихся виртуальных династий могут встретиться нам в какой-то конкретной летописи (в этом случае они будут летописными династиями), некоторые остаются всего лишь «теоретически возможными», то есть «виртуальными».
Рис. 5.16. Каждая династия p порождает некоторое множество vir(p) виртуальных династий. Геометрически они изображаются в виде «облака», «шарового скопления», окружающего точку p в пространстве.
Объединяя все виртуальные династии, получающиеся из всех реальных династий p, составляющих наш список династий D, мы получаем некоторое множество vir(D), то есть «окутывающее облако» исходного множества династий D.
Таким образом, для каждой реальной династии M, множество изображающих ее летописных династий можно представлять себе как «шаровое скопление» vir(M). Пусть теперь даны две реальные династии M и N. Если сформулированный нами принцип малых искажений верен, то шаровые скопления vir(M) и vir(N), отвечающие двум заведомо независимым, разным реальным династиям M и N, не пересекаются в пространстве Rk. То есть, они должны быть расположены достаточно далеко друг от друга, рис. 5.17.
Рис. 5.17. «Шаровые скопления» vir(M) и vir(N), отвечающие двум заведомо независимым, разным реальным династиям М и N, расположены «далеко друг от друга».
Пусть теперь а и b — две какие-то династии из множества vir(D), например, две летописные династии, рис. 5.18. Мы хотим ввести некоторую количественную меру близости между двумя династиями, то есть «измерить расстояние между ними», оценить — насколько они далеки друг от друга. Простейший способ был бы таким. Рассматривая обе династии как векторы в пространстве Rk можно было бы просто взять евклидово расстояние между ними, то есть подсчитать число r(а, b), квадрат которого имеет вид:
(a1 - b1)2 + … + (ak - bk)2.
Рис. 5.18. Наглядное изображение длительностей правлений в двух династиях а и b в виде графиков.
Однако численные эксперименты с конкретными летописными династиями показывают, что это расстояние не позволяет уверенно отделить друг от друга зависимые и независимые пары династий. Другими словами, такие расстояния между заведомо зависимыми летописными династиями и расстояния между заведомо независимыми летописными династиями в некоторых случаях оказываются сравнимыми друг с другом. Оказывается, иногда они имеют «один и тот же порядок».
Тем более нельзя определять «похожесть» или «непохожесть» двух династий, точнее, графиков их правлений, «на глаз». Визуальная похожесть двух графиков может ни о чем не говорить. Можно привести примеры заведомо независимых династий, графики правлений которых окажутся «весьма похожими». И тем не менее, никакой зависимости тут на самом деле не будет. Как выяснилось, в данной проблеме визуальная близость может легко ввести в заблуждение. Требуется надежная количественная оценка, устраняющая зыбкие субъективные соображения вроде «похожи», «не похожи».
Итак, задача состоит в том, чтобы выяснить — существует ли вообще такая естественная мера близости на множестве всех виртуальных династий, которая позволила бы уверенно отделить зависимые династии от независимых. То есть, чтобы «расстояние» между заведомо зависимыми династиями было «мало», а «расстояние» между заведомо независимыми династиями было «велико». Причем, требуется, чтобы эти «малые» и «большие» значения существенно отличались бы друг от друга, например, чтобы они были отделены одним или несколькими порядками.
Оказывается, такая мера близости, то есть «расстояние между династиями», действительно существует. К описанию такого коэффициента c(a, b) мы сейчас и перейдем.
Итак, мы построили в пространстве R15 некоторое множество династий D. Были смоделированы две наиболее типичные ошибки, делавшиеся летописцами. Каждая династия из множества D была подвергнута возмущениям типов (1) и (2). При этом каждая точка из D размножилась в несколько точек, что привело к увеличению множества. Получившееся множество мы обозначали через vir(D). Оказалось, что множество vir(D) состоит примерно из 15×1011 точек.
Будем считать «династический вектор а» случайным вектором в Rk пробегающим множество vir(D). Тогда по множеству vir(D) мы можем построить функцию z плотности вероятностей. Для этого все пространство R15 было разбито на стандартные кубы достаточно малого размера так, чтобы ни одна точка из множества vir(D) не попала на границу какого-либо куба. Если x — внутренняя точка куба, то положим
Ясно, что для точки x, лежащей на границе какого-либо куба, можно считать, что z(x) = 0. Функция z(x) достигает максимума в области, где сосредоточено особенно много династий из множества vir(D), и падает до нуля там, где точек из множества vir(D) нет, рис. 5.19.
Рис. 5.19. Функция плотности, показывающая распределение точек множества vir(D).
Тем самым, график функции z(x) наглядно показывает, как именно распределено множество виртуальных династий vir(D) по пространству Rk. Другими словами, где это множество «густое», «плотное», а где оно разрежено. Пусть теперь нам заданы две династии
a = (a1, …, ak) и b = (b1,…, bk),
и мы хотим оценить — насколько они близки или далеки. Построим k-мерный параллелепипед P'(a, b) с центром в точке а, имеющий в качестве половины диагонали вектор a — b, рис. 5.20.
Рис. 5.20. Параллелепипеды P'(a, b) и P(a, b).
Если спроектировать параллелепипед P'(a, b) на i-ю координатную ось, то получится отрезок с концами
[ai - |ai - bi|, ai + |ai - bi|].
В качестве предварительного коэффициента с'(а, b) мы возьмем число
Ясно, что число с'(а, b) является интегралом функции плотности z(x) по параллелепипеду P'(а, b).
Смысл этого предварительного коэффициента с'(а, b) ясен. Династии, то есть векторы из vir(D), попавшие в параллелепипед P'(а, b), естественно назвать «похожими» на династию а не менее чем b. В самом деле, каждая из таких династий удалена от династии а не более, чем от династии а удалена династия b. Следовательно, в качестве меры близости двух династий а и b, мы берем долю династий, «похожих» на а не менее чем b, в множестве всех династий vir(D).
Однако такой коэффициент с'(а, b) пока недостаточно хорош, поскольку он никак не учитывает то обстоятельство, что летописцы определяли длительность правлений царей с какой-то ошибкой, причем обычно тем большей, чем дольше длительность правления. Другими словами, нам нужно учесть ошибку летописцев (3), обсужденную выше.
Перейдем к моделированию ошибки (3). Пусть T — это длительность правления. Ясно, что длительность правления можно рассматривать как случайную величину, определенную на «множестве всех царей». Обозначим через g(T) число царей, правивших T лет. В работе [884] автор настоящей книги экспериментально вычислил эту гистограмму частот g(T) (плотность распределения указанной случайной величины) на основе данных, приведенных в «Хронологических Таблицах» Ж. Блера [76]. Положим h(T) = 1/g(T) и назовем h(T) функцией ошибок летописцев. Ошибка h(T) в определении длительности T тем больше, чем с меньшей вероятностью случайная величина, — то есть длительность правления, — принимает значение T. Другими словами, небольшие, «короткие» длительности правлений царей лучше поддаются вычислению летописцев. Здесь хронист ошибается незначительно. Напротив, большие длительности правлений царей, встречающиеся довольно редко, летописец обычно вычисляет с существенной ошибкой. Чем больше длительность правления, тем большую ошибку он может совершить.
