Всеволод Беллюстин - Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики [без таблиц]
Прогрессіи. Прогрессіей, какъ извѣстно, называютъ рядъ чиселъ, расположенныхъ въ оцредѣленномъ порядкѣ уменьшенія или увеличенія. Напр., рядъ 2, 4, 6, 8, 10 и т. д. составляетъ ирогрессію, потому что входящія въ него числа все увеличиваются на 2; точно также прогрессіей будетъ называться и рядъ такой: 4, 2, 1, ½, ¼, ,⅛, 1/16, и такъ далѣе, потому что помѣщенныя здѣсь числа цостепенно все уменьшаютея вдвое. Въ старинныхъ учебникахъ ариѳметики прогрессіи считались необходимой главой и помѣщались въ нихъ всегда, и это было до средины прошлаго ХІХ-го вѣка. При этомъ, изложеніе часто отличалось неясностью и сбивчивостью, такъ что, напр., прогрессія смѣшивалась съ пропорціей, какъ у Магницкаго на стр. РОФ
«Что есть прогрессіо: Прогрессіо есть пропорціо, или подобенство числъ къ числамъ въ примноженіи или во уменьшеніи яковыхъ либо перечневъ и раздѣляются на три вида, иже суть: ариѳметическое, геометрическое и армоническое. О армоническомъ иди муссикiйскомъ нѣсть треба намъ глаголати. Въ ариѳметическомъ прогреесіи въ примножительномъ егда къ первому числу приложиши разнство тогда исполнится другое, егда же ко другому чнслу тожде разнство приложиши, тогда будетъ третіе число. А во умалительномъ прогрессіи аще вычтеши разнство отъ перваго числа останется другое, а отъ другого третье и прочая».
И т. далѣе.
Въ иныхъ старинныхъ ариѳметивахъ къ прогрессіямъ еще присоединялось вычисленіе рядовъ. Такъ, напр., арабскiй математикъ Алькархи (въ XI в. по Р. Христ.) далъ правило, какъ вычислять сумму кубовъ ряда послѣдовательныхъ чиселъ, начиная съ единицы.
Примѣры на правило Алъкархи можно привести такіе:
13 + 23 + 33 = (1 + 2 + 3)2, такъ какъ 1 + 8 + 27 =6 X 6
13+23 + 33 + 43 + 53 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5)2, такъ какъ 1 + 8 + 27 + 64 + 125 = 15 X 15
и т. д.
Въ настоящее время прогрессіи и ряды не встрѣчаются въ учебникахъ ариѳметики и не входятъ въ школьную программу по этому предмету. Теперь признано, что для полнаго объясненія этихъ отдѣловъ нужна общая количественная наука, а не частная, числовая, т.-е. не ариѳметика, а алгебра.
Извлеченіе корней до самаго послѣдняго времени входило въ составъ ариѳметики и содержалось даже въ нѣкоторыхъ учебникахъ 60-хъ годовъ прошлаго столѣтія, напр., въ задачникѣ, изданномъ департаментомъ народнаго просвѣщенія, имѣлись задачи на квадратные и кубическіе корни. Этотъ отдѣлъ, дѣйствительно, вполнѣ числовой, и процессъ извлеченія корня очень подходилъ бы къ курсу ариѳметики, но только въ томъ бѣда, что трудно провести хорошее объяененіе этого дѣйствія безъ помощи алгебры, поэтому теперь извлеченіе корней признается обыкновенно частью алгебры.
Умѣли извлекать корни индусскіе и арабскіе математики, также и греческіе ученые. Индусамъ и арабамъ были извѣстны начала алгебры и даже въ такой мѣрѣ, что они могли рѣшать квадратныя уравненія. Поэтому вполнѣ слѣдовало ожидать того, что уже въ ХІІ в. по Р. X. извлеченіе корней шло почти такъ же, какъ идетъ оно сейчасъ у насъ.
Тройное правило.
Нѣтъ такого достаточно сильнаго выраженія, на которое поскупились бы составителя средневѣковыхъ ариѳметикъ, чтобы похвалить тройное правило. «Та строка тройная похвальная и лучшая строка изо всѣхъ иныхъ строкъ.» «Ее философы зовутъ золотою строкою». Въ нѣмецкихъ учебникахъ объ немъ отзывались, какъ о такомъ, которое «выше всѣхъ похвалъ», оно—«ключъ купцовъ». Такъ же и у французовъ оно слыло подъ именемъ règle dorée—золотого правила. Оно противополагалось цѣлой наукѣ—алгебрѣ.
За что же воздаются такія неумѣренныя похвалы отдѣлу, который въ наше время привыкъ занимать уже болѣе скромное мѣсто? Выяснить это очень интересно, и мы позволяемъ себѣ вернутъся немного назадъ и дать краткую характеристику цѣлей, которыя преслѣдовала ариѳметика съ древнихъ временъ.
Всякая наука въ первоначальной стадіи своего развитія вызывается практическими потребностями и стремится, въ свою очередь, имъ удовлетворить. Затѣмъ, въ зависимости отъ условій, при которыхъ она развивается, наука иногда довольно скоро, иногда болѣе медленно принимаетъ теоретическую окраску и на изучающихъ ее дѣйствуетъ образовательно, т.-е. совершенствуетъ ихъ душевыыя способности: умъ, чувство и волю: при медленномъ же ростѣ наука долго остается руководительницей мастерства, сообщаетъ одно только умѣнье, даетъ человѣку механическіе навыки и придаетъ ему черты машинальности. И то и другое направленіе испытала ариѳметика. Съ одной стороны греческіе ученые видѣли въ ариѳметикѣ болѣе всего образовательный элементъ; они постоянно ставили вопросы «почему?» и «зачѣмъ?», всегда искали основанія и вывода; ученики греческихъ школъ углублялись въ суть науки, думали надъ ней, и потому изученіе дѣйствовало на нихъ образовательно-развивающимъ образомъ. Съ другой стороны, индусы смотрѣли на ариѳыетику скорѣе со стороны искусства, они не любили вопроса «почему?», но у нихъ основнымъ вопросомъ всегда былъ: «какъ это сдѣлать?» Направленіе индусовъ перешло къ арабамъ, а оттуда въ средневѣковую Европу. Въ ней оно встрѣтило чрезвычайно радушный пріемъ, и почва для него оказалась вполнѣ благодарной: послѣ великаго переселенія народовъ и при безпрерывно продолжающихся войнахъ нечего было и думать о развитіи точной, частой, отвлеченной науки, а въ пору было ограничиться ея прикладной частью, достаточно было только учить «какъ дѣлать», а не «почему такъ дѣлать». И вотъ практическая окраска осталась за ариѳметикой на долгое время, почти до нашихъ дней, в вмѣстѣ съ тѣмъ изученіе ея было узко-механическимъ: безъ выводовъ, разъясненій, безъ углубленія въ основанія; повсюду въ учебникахъ встрѣчалось «такъ дѣлай», «дѣлать надо такъ», и ученику оставалосъ только затверживать и примѣнять къ дѣлу; у нашего Магницкаго тоже встрѣчается рядъ характерныхъ выраженій «зри сице», «зри изобрѣтенія»; положимъ, среди этихъ выраженій у него есть «умствуй и придетъ», но какъ именно умствовать, на то дается очень мало намековъ. Сообразно практическому значенію ариѳметики, въ ней особенно выдѣлялось и цѣнилось все, что можетъ принести непосредственную выгоду, доставить заработокъ.
«Хто сію мудроеть знаетъ», говорится въ русской ариѳметикѣ XVII вѣка, «можетъ быть у государя въ великой чти и въ жалованьи; по сей мудрости гости по государствамъ торгуютъ и во всякихъ товарѣхъ и торгѣхъ силу знаютъ и во всякихъ вѣсѣхъ и мѣрахъ и въ земномъ верстаніи и въ морскомъ теченiи зѣло искусни, и счетъ изъ всякаго числа перечню знаютъ».
Но какая же часть ариѳметики можетъ болѣе дать практическихъ, непосредствеено приложимыхъ навыковъ, какъ не рѣшеніе задачъ? Поэтому всѣ старанія средневѣковыхъ авторовъ направлялись къ тому, чтобы собрать какъ можно больше задачъ и при томъ самаго разнообразнаго житейскаго содержанія. Тутъ были задачи а о продажѣ, и о покупкѣ, о векселяхъ и о процентахъ, о смѣшеніи, объ обмѣнѣ; пестрота была ужасная и разобраться во всей массѣ задачъ не представлялось нікакой возможности. Чтобы хоть нѣсколько сгруппировать и ввести нѣкоторую систему и порядокъ, пытались распредѣлить всѣ задачи по отдѣламъ или типамъ. Это мысль, конечно, хорошая, но выполнялась она, обыкновенно, очень неудачно, а задачи распредѣлялись не по способамъ ихъ рѣшенія, какъ бы слѣдовало, а по ихъ содержанію, т. е. по внѣшнему виду; напр., былъ особый видъ задачъ о собакахъ, догоняющихъ зайца, о деревьяхъ, о дѣвицахъ и т. п.
Рѣшеніе задачъ съ раздѣленіемъ по ихъ содержанію не пріносило почти никакой пользы, потому что нисколько не помогало тому, чтобы лучше понимать рѣшеніе. Да и понимать-то, по мнѣнію старинныхъ авторовъ, едва-ли нужно было.
«Это ничего», утѣшаетъ бывало наставникъ своихъ питомцевъ: «что ты ничего не понимаешь, ты и впереди также многаго не будешь понимать».
Вмѣсто пониманія рекомендовалось не заноситься, а выучивать наизусть все, что задаютъ, и потомъ стараться примѣнять это къ дѣлу, т. е. къ примѣрамъ, а вся сила пониманія сосредоточивалась не на томъ, чтобы уяснить выводъ правила, а на болѣе скромномъ—на томъ, какъ примѣнить общее правило къ примѣрамъ.
И вотъ тройное правило являлось выдающимся и заслуживающимъ особеннаго вниманія во многихъ отношеніяхъ. Во-первыхъ, кругъ его задачъ довольно обширенъ, во-вторыхъ, самое правило выражается довольно просто и ясно, и въ третьихъ, примѣнить это правило было сравнительно нетрудно. За всѣ эти достоинства ему и дали названіе «золотог», «ключа купцовъ» и т. п.
Тройное правило получило начало у индусовъ, тамъ его задачи рѣшались большею частію приведеніемъ къ единицѣ. Арабскій ученый Альхваризми (IX в. по Р. X.) относилъ его къ алгебрѣ. Леонардо Фибонначи, итальянецъ XIII в. по Р. X., посвящаетъ тройному правилу особый отдѣлъ подъ названіемь: ad majorem guisam, гдѣ даются задачи на вычисленіе стоимости товаровъ. Примѣръ: 100 rotuli (пизанскій вѣсъ) стоятъ 40 лиръ, что стоятъ 5 rotuli? Уcловіе записывалось такъ:
