Всеволод Беллюстин - Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики [без таблиц]
6) Лука-де-Бурго ухитрился представлять дѣленіе фигурой корабля съ трюмомъ, рулемъ, мачтами и парусами.
Дальше этого идти ужъ трудно и путь всевозможныхъ ухищреній можно считать исчерпаннымъ. Хорошо еще, что педагоги тогдашняго времени большею частію не неволили учениковъ къ тому, чтобы они непремѣнно умѣли строить эти изящныя фигуры; они обыкновенно предпочитали только хвастаться другъ передъ другомъ, кто сколько знаетъ способовъ и кто сколько изобрѣлъ.
Какъ видимъ изъ фигуры, частное 9876 стоитъ съ правой стороны у знака дѣленія (угла); лѣвѣе, въ одной съ нимъ строкѣ. располагается дѣлимое; что же касается дѣлителя 9876, то онъ помѣщенъ четыре раза: первый разъ подъ дѣлимымъ, второй разъ онъ расчлененъ на 987 и 6, третій разъ на 98, 7, и 6, и, наконецъ, въ послѣдній разъ на 9, 8, 7 и 6, при чемъ 9 стоитъ въ самомъ низу, 8 во второй строкѣ снизу, 7 въ третьей снизу, и 6 въ четвертой, подъ дѣлимымъ, на самомъ правомъ мѣстѣ. Дѣйствіе начинается съ того, что 97535 дѣлится на 9876, въ частномъ получается 9; те-перь надо 9876 умножить на 9 и полученное произведеніе вычесть изъ 97535, при чемъ умноженіе начинается съ высшихъ разрядовъ, вычитаніе производится одвовременно съ нимъ. 9 × 9 = 81, 8 изъ 9 = 1, 1 пишемъ надъ 9-ю, 1 изъ 7 = 6, пишемъ 6 надъ 7-ю; далѣе 8 × 9 = 72, вычитаемъ 7 изъ 16-ти, получается 9, пишемъ эти 9 надъ 6-ю, а надъ единицей пишемъ 0; такъ продолжаемъ вычисленіе все далѣе и далѣе, до тѣхъ поръ, пока не кончимъ его.
Требуется большая, можно сказать, необыкновенная внимательность, чтобы не сбиться и не спутать въ такомъ рядѣ вычисленій. Положимъ, что передвиженіе дѣлителя помогаетъ разбираться скорѣе и вѣрнѣе въ разрядахъ, но все-таки избѣжать ошибокъ очень трудно, а между тѣмъ, стоитъ только допустить ошибку, и все кончено: все надо передѣлывать снова, потому что выдѣлить вѣрное отъ невѣрнаго нельзя. Если же къ этому еще вспомнить, что при дѣленіи легко попасть на цифру частнаго, которая слишкомъ велика или слишкомъ мала, то мы вполнѣ себѣ представимъ, сколько попытокъ и при-томъ какихъ отчаянныхъ попытокъ стоило вѣрное вычиеленіе частнаго. Современники передаютъ, что, чтобы рѣшить примѣръ на дѣленіе — на это требовалось сутки времени. Не даромъ Гербертъ (папа Сильвестръ II), жившій, правда, нѣсколько ранѣе разсматриваемаго періода, считадъ возможнымъ преподавать ариѳметику только особенно одареннымъ ученикамъ. Святой Бонифацій пишетъ, что
«при одной мысли о математическихъ наукахъ у меня отъ страха захватываетъ дыханіе. Передъ ними вся грамматика, реторика и діалектика—просто дѣтская забава».
7) Французскій математикъ Ла-Рошъ (въ ХVI ст.) понялъ, что выгоднѣе начинать умноженіе съ низшихъ разрядовъ, потому что тогда будетъ легче вычитать; но и отъ стараго пріема онъ не рѣшается отказаться, поэтому даетъ и то и другое расположеніе, начиная въ первомъ случаѣ умноженіе съ низшихъ разрядовъ, а во второмъ съ высшихъ. Пусть будетъ дѣлимое 7985643, дѣлитель 1789, тогда въ частномъ получается 4463.
Ла-Рошъ стремится, очевидно, къ тому, чтобы получить красивую фигуру треугольника; онъ не прочь, подобно Лукѣде-Бурго, пожертвовать удобствомъ вычисленій въ пользу второстепенной цѣли — изящества.
Бешенштейнъ и Ризе, нѣмецкіе педагоги XVI ст., даютъ подобные пріемы дѣленія.
8) Штифель и Петръ Рамусъ дѣлаютъ попытки помочь вычисленію и предлагаютъ: Штифель—вычитать частныя произведенія сразу, послѣ того, какъ они уже составлены, а не по отдѣльнымъ разрядамъ, какъ только они получаются; Рамусъ — заготовлять заранѣе произведенія дѣлителя на всѣ однозначныя числа.
«Правда, это кропотливо,— говоритъ онъ,—но зато полезно».
9) Изложенный способъ дѣленія, испанскій, какъ называетъ его Пешекъ, отличается той характерной чертой, что всѣ промежуточныя вычисленія пишутся выше дѣламаго, поэтому онъ получилъ у нѣмецкихъ математиковъ названіе дѣленія «вверху» — «ueberwärts» или «uebersich»—dividieren, въ противоположвость нашему нормальному пріему, которому придали названіе дѣленія «внизу», на томъ основаніи, что все вычисленіе сосредоточивается ниже дѣлимаго.
Дѣленіе «вверху», какъ мы уже упоминали, являлось самой распространенной и употребительной формой вплоть до начала XIX -го вѣка. Къ этому времени были сознаны, наконецъ, его неудобства, и оно мало-помалу стало уступать свое мѣсто нормальному, практикуемому въ настоящее время, пріему. Въ русекихъ ариѳметикахъ ХТІІ вѣка находимъ такой примѣръ дѣленія: 5692597 : 3625 = 1570 1347/3625.
Въ сущности, тотъ же ромбъ, что и выше. У Магницкаго вычисленіе въ этомъ же родѣ, при чемъ частное располагается съ правой стороны и отдѣляется скобкой. 9649378 : 5634.
Выпишемъ кстати изъ Магницкаго объясненіе, которое онъ проводитъ на примѣрѣ 1952 : 32.
«Подобаетъ вѣдати, яко егда дѣлитель имѣетъ не едино число, но два 32 или три 432, и тогда такожде подписуются числа дѣлителя, подъ болшая себе, дѣлимаго сице.
1 9 5 2
3 2
И умствуется тако: яко елико первымъ числомъ дѣлителя, емлеши изъ верхнихъ числъ дѣлимаго толикожде бы взяти, и другимъ числомъ дѣлителя, изъ тѣхъ же числъ дѣлимаго, якоже здѣ: 1
1 9 5 2 ( 6
3 2
Изъ 19 взяти на 3, по 6: по толику же бы взяти, и изъ 15, на 2: и останется изъ 15, 3, еже напиши надъ 5-ю, а прочая похѣрь сице (вcѣ цифры, кромѣ 3, 2 и 6, перечеркиваются).
Потомъ напиши первое число делителя, противъ остаточныхъ 3-хъ дѣлимаго, а другое дѣлителя въ рядъ къ правой рукѣ яковъ здѣі
1 3
1 9 5 2 ( 6
3 2 2
3
И умствуй 3 дѣлителя изъ 3-хъ дѣлимаго, и будетъ 1: и сей 1, напиши подлѣ 6 за чертою, а другимъ числомъ дѣлителя 2-мя возьми изъ 2 дѣлимаго 1, который уже за чертою написанъ сице:
10) Въ заключеніе приведемъ изъ Магницкаго
«одинъ изящнѣйшій образецъ дѣленія, зане во единомъ семъ образцѣ сугубое дѣйство, сирѣчь съ дѣленіемъ и повѣреніе: яко же явлено есть.»
Въ этотъ примѣрѣ требуется 598432 раздѣлить на 678; въ частномъ получится 882 и въ остаткѣ 436. Дѣлитель 678 пишется только одинъ разъ и въ этомъ обстоятельствѣ мы должны видѣть большой успѣхъ. Первымъ неполнымъ дѣлимымъ является число 5984; когда его раздѣлимъ на 678, то получимъ въ частномъ 8, составляемъ теперь произведеніе 678 на 8, при чемъ умноженіе ведемъ съ низшихъ разрядовъ: это опять-таки полезная подробность: восемью восемь 64, 4 изъ 4 будетъ 0, пишемъ 0 надъ 4-мя; семью восемь 56, да 6,—62, вычитаемъ 2 изъ 8-ми, будетъ 6, пишемъ 6 надъ 8-ю; шестью восемь 48, да 6,—54, вычитаемъ 54 изъ 59, останется 5.
Такимъ путемъ ведемъ мы дѣйствіе до самаго конца и находимъ въ отвѣтѣ 882. Что касается «повѣренія», т.-е. повѣрки, то она состоитъ въ перемноженіи дѣлителя и частнаго, при чемъ 678 · 8=5424, 678 · 8=5424, 678 · 2=1356, къ этому присоединяется остатокъ отъ дѣленія, который равенъ 436, и всего составится 598432.
Римскій способъ дѣленія.
Римляне были расположены къ счету круглыми числами, и поэтому они любили замѣнять числа, близкія къ круглымъ, при посредствѣ этихъ круглыхъ. Примѣровъ этому можно привести очень много, хотя бы: 18 по ихъ нумераціи выражается черезъ 20 безъ двухъ, 90 черезъ сто безъ десяти и т. д. Естественно поэтому ожидать, что подобная наклонность къ круглымъ числамъ будетъ проявлена и при дѣленіи. Примѣръ 668 : 6 рѣшается по римскому способу слѣдующимъ образомъ. Дѣлимъ 668 не на 6 равныхъ частей, а на 10, тогда въ каждой части будетъ по 6 десятковъ, но вѣдь мы взяли 4 лишнихъ части, и въ каждой по 6 десятковъ, всего, слѣд., взяли лишняго 24 десятка, эту сдачу надо приложить опять къ делимому, будетъ 308. Дѣлимъ теперь 30 десятковъ на 10, будетъ въ каждой части по 3 десятка, и такъ какъ лишнихъ частей взято опять 4, то онѣ составятъ 12 дес, а поэтому всего осталось подѣлить число 128. Изъ этого 12 дес. при дѣленіи на 10 дадутъ въ каждой части по 1 дес. и сдачи образуется 4 дес. Всего мы, слѣд., набрали въ частномъ 6 д.+3 д.+1 д.=10 дес, или 100. Теперь надо 68 дѣлить на 6. Продолжаемъ это дѣлать тѣмъ же самымъ пріемомъ, какимъ вели и до сихъ поръ, именно: 60 : 10, будетъ по 6 ед., сдачи 4×6=24, да 8, всего 32; дѣлимъ 32 на 10, будетъ по 3, сдачи 3×4=12, да 2, всего 14; дѣлимъ 14 на 10, будетъ по 1 единицѣ, сдачи 4, да 4, всего 8, теперь число уже не дѣлится на 10 и поэтому остается только вопомнить настоящаго дѣлителя 6; и раздѣлить на него, будетъ въ частномъ 1 и въ остаткѣ 2. Подсчитаемъ итогъ, сколько мы набрали всего-навсего единицъ: 6+3+1+1=11, и въ остаткѣ 2; десятковъ мы выше насчитали 10, и слѣд. окончательный отвѣтъ представится въ видѣ 100+11, т.-е. 111 и ост. 2. Вотъ какой длинный и кропотливый путь. Онъ составляетъ характерную принадлежность римской ариѳметики, особенно же временъ упадка Рима и перехода римской цивилизаціи къ народамъ Западной Европы. Особенно подробно разработанъ этотъ способъ у Боэція (470—525 по Р. X.), знатнаго и ученаго римскаго гражданина, и у Герберта (папы Сильвестра II), жившаго около 1000 года по Р. X. Послѣ Герберта этотъ способъ сталъ все болѣе и болѣе вытѣсняться арабскими пріемами, т.-е. такими, которые близки къ нашему нормальному дѣленію. Не даромъ съ этихъ поръ стали называть способъ Боэція «желѣзнымъ правиломъ», въ отличіе отъ «золотого» подъ которымъ чаше всего разумѣли «дѣленіе вверху» .
