Яков Перельман - Веселые задачи. Две сотни головоломок
Рис. 48. Красный крест из лоскутьев.
Сестра ухитрилась, не разрезав этих лоскутьев, сшить из них крест. Каким образом?
54. Два креста из одного
У третьей сестры милосердия имелся готовый красный крест из материи, но он был чересчур велик, и она вырезала из него другой, поменьше.
Вырезав крест, сестра собрала обрезки — их оказалось всего 4 — и решила, что из них можно, не разрезая ни одного лоскутка, сшить еще один крест и притом точно такой же величины, как первый.
Рис. 49. Два красных креста из одного большого.
А значит, вместо одного креста у нее оказалось два поменьше одинаковой величины — один цельный, другой составной.
Можете ли вы показать, как сестра это сделала?
55. Лунный серп
Фигуру лунного серпа (рис. 50) требуется разделить на 6 частей, проведя всего только две прямые линии.
Как это сделать?
Рис. 50. Лунный серп.
56. Деление запятой
Вы видите здесь широкую «запятую» (рис. 51) — Она построена очень просто: на прямой АВ описан полукруг, а затем на каждой половине АВ описаны полукруги — один вправо, другой влево.
Задача состоит в том, чтобы разрезать запятую одной кривой линией на две совершенно одинаковые части.
Рис. 51. Деление «запятой» на две равные (по площади) части.
Фигура эта интересна еще и тем, что из двух таких фигур можно составить круг. Каким образом?
57. Развернуть куб
Если вы разрежете картонный куб вдоль ребер так, чтобы его можно было разогнуть и положить всеми 6-ю квадратами на стол, то получите фигуру вроде трех следующих:
Рис. 52. Куб и его развертки.
Любопытно сосчитать: сколько различных фигур можно получить таким путем? Другими словами, сколькими способами можно развернуть куб на плоскости? Предупреждаю нетерпеливого читателя, что различных фигур не менее двенадцати. Различными условимся считать две развертки, которые не совпадают при наложении друг с другом или одной из них с ее зеркальным отражением.
58. Составить квадрат
Можете ли вы составить квадрат из пяти кусков бумаги, показанных на рис. 53?
Если вы догадались, как решить эту задачу, попробуйте составить квадрат из пяти одинаковых треугольников той же формы, что и те, с которыми вы сейчас имели дело (один катет вдвое длиннее другого, рис. 54). Вы можете разрезать один треугольник на две части, но остальные четыре должны идти в дело целыми.
Рис. 53. Заготовка для квадрата.
Рис. 54. Еще одна заготовка для квадрата.
59. Четыре колодца
На квадратном участке земли имеются четыре колодца: три рядом, близ края участка, и один в углу (рис. 55).
Участок перешел к четырем арендаторам, которые решили разделить его между собой, но так, чтобы у всех были участки совершенно одинаковой формы и чтобы на каждом из них находился колодец.
Рис. 55. Как разделить землю и колодцы?
Можно ли это сделать?
60. Куда девался квадратик?
В заключение наших занятий с разрезанием фигур покажу читателю интересный пример разрезания, при котором неизвестно куда исчезает кусочек фигуры.
На клетчатой бумаге вычерчиваю квадрат, заключающий 64 маленьких квадратика. Затем провожу косую линию слева направо, начиная с той точки вверху, где сходятся первый и второй квадратики, и кончая правым нижним углом большого квадрата.
Рис. 56. Куда исчез один квадратик?
Противоположный конец этой косой линии разрежет пополам последний квадратик справа, и в нем образуются два треугольничка. Нижний треугольничек обозначим буквой С. Всю левую часть чертежа обозначим буквой А, правую — буквой В. Теперь разрезаю чертеж по косой линии и двигаю правую часть косо вверх по разрезу так, чтобы эта часть поднялась на один ряд квадратиков. Вверху окажется при этом маленький пустой треугольничек, а внизу направо будет выдаваться треугольничек С. Беру ножницы, отрезаю выступающий маленький треугольничек С и помещаю его вверху — там, где остался незанятый треугольник. Он приходится сюда как раз впору. У нас получился прямоугольник, имеющий 7 квадратиков в высоту и 9 квадратиков в ширину. Но 7 х 9 = 63. Значит, наш прямоугольник заключает теперь всего 63 квадратика, между тем как прежде их было 64.
Куда же девался один квадратик?
Решения задач 51-60
51. Нужно разрезать флаг по ступенчатой линии, обозначенной на рис. 57а.
Теперь остается только передвинуть нижнюю часть флага вверх на одну ступеньку и сшить. Получается флаг уже не с 12 полосами, а с 10, рис. 57б. Он стал более продолговатым, но ни одного клочка материи не пропало.
Рис. 57 а, б. Как разрезать и перекроить пиратский флаг.
52. Сестра разрезала квадратный кусок материи на 4 части так, как показано на рис. 58а. Пунктиром обозначены линии разреза от вершин квадрата к середине его сторон.
Рис. 58 а, б. Как раскроить квадрат, чтобы из него можно было сшить крест.
Из этих четырех кусков сестра сшила крест (рис. 58 б). Как видите, в нем всего два шва.
53. Вот как сестра сшила крест из обрезков:
Рис. 59. Как сшить крест из обрезков.
54. Способ, каким сестра вырезала малый крест из большого и составила еще один крест из обрезков, показан на рис. 60.
Рис. 60. Как выкроить два малых креста из одного большого.
55. Сделать надо так, как показано на рис. 61. Получаются 6 частей, которые для наглядности пронумерованы.
Рис. 61. Как разделить полумесяц (лунный серп).
56. Решение видно из прилагаемого рис. 62. Обе части разделенной «запятой» равны между собой, потому что составлены из одинаковых частей.
Рис. 62. Как разделить «запятую» на две равные (по площади) части.
Рис. 63 показывает, как составить круг из двух «запятых» — белой и черной.
Рис. 63. Как составить круг из двух «запятых» — белой и черной.
57. Вот все различные развертки куба. Их 12:
Рис. 64. Развертки куба.
58. Решение первой задачи видно из рис. 65.
Рис. 65. Квадрат, составленный из четырех треугольников и одного малого квадрата.
А вот как составляется квадрат из 5 треугольников (рис. 66). Один треугольник предварительно разрезают, как показано на рис. 66 б.
Рис. 66 а, б. Квадрат, составленный из пяти треугольников.
59. Способ раздела земли между четырьмя арендаторами обозначен сплошными линиями на рис. 67.
Рис. 67. Раздел земли и колодцев.
Участки получаются довольно причудливой формы, но зато у всех четырех арендаторов они совершенно одинаковы, и у каждого есть колодец.
60. Секрет непонятного исчезновения 64-го квадратика открывается сразу, стоит только тщательнее исполнить рисунок.
Рис. 68. Тайна исчезнувшего квадратика.
Вглядитесь пристально в приложенный здесь чертеж — вы заметите, что прямоугольник вовсе не составлен из 64 квадратов, как кажется при неотчетливо исполненном чертеже. Те «квадраты», которые расположены вдоль косой линии разреза, совсем не квадраты: каждая из этих фигур по площади немного больше соответствующего квадратика, из суммы этих избытков и слагается недостающая площадь будто бы исчезнувшего квадратика.
Подтасовка выступит яснее, если разграфить фигуру не на 64 квадратика, а всего на 4 х 4 = 16 квадратиков. Наоборот, чем на большее число частей разграфлена фигура, тем труднее уловить ошибку.
Десять замысловатых задач
61. Дешевый сторож
Арендатору большого фруктового сада понадобилось на целые сутки отлучиться как раз в ту пору, когда яблоки поспели и представляли наибольший соблазн для любителей полакомиться на чужой счет. Необходимо было нанять на эти сутки сторожа. Скупой арендатор долго выбирал сторожа подешевле, пока не напал на такого, который вовсе не просил денег, а довольствовался уплатой яблоками. Это понравилось арендатору.
— Сторожить нужно целые сутки без смены и перерыва, никуда не отлучаясь. Поспать успеете потом, когда отдежурите.
— Хорошо, буду без смены. Но платить вам придется не ровно: за каждый следующий час вдвое больше против предыдущего.
