Яков Перельман - Веселые задачи. Две сотни головоломок
– Не может, конечно. Теперь мне совершенно ясно, что «нечетных» вершин во всякой фигуре должно быть две, четыре, т. е. обязательно четное число. Все же я думаю, что и кристалл с двумя «нечетными» вершинами возможно обойти. Пусть у нас имеется фигура с двумя «нечетными» вершинами. Что мешает начать путешествие именно в одной из этих точек и закончить в другой? Тогда не понадобится ни возвращаться в первую, ни уходить из последней. Путешествие будет выполнено с соблюдением всех требуемых условий.
– Правильно! В этом и состоит секрет успешного выполнения подобных путешествий, или – что то же самое – правило вычерчивания фигур одним росчерком пера. Если потребуется непрерывным движением начертить фигуру – безразлично, в плоскости или в пространстве, – то прежде всего внимательно ее рассмотрите и определите, имеются ли у этой фигуры «нечетные» вершины, т. е. такие, у которых встречается непарное число линий. Если подобных вершин в фигуре больше двух, то задача неразрешима. Если только две, то нужно начать вычерчивание в одной «нечетной» точке и закончить в другой. Если «нечетных» вершин вовсе нет, то можно начинать чертить из любой вершины, и всегда найдется способ вычертить всю фигуру и вернуться в начальную точку. Каким путем вы в таком случае поведете перо – безразлично. Надо только заботиться о том, чтобы не вести линию к вершине, от которой нет больше пути, т. е. стараться не замыкать фигуру раньше времени. Вот пример: фигура в форме буквы Ф (рис. 159) – Можно ли ее начертить одним росчерком пера?
– В ней всего две «нечетные» вершины – концы «палки». Значит, начертить ее одним росчерком пера возможно. Но как?Рис. 159.
Рис. 160.
– Нужно начать с одного конца «палки» и кончить другим (рис. 160). – В детстве я ломал голову над тем, чтобы начертить одним росчерком пера четырехугольник с двумя диагоналями (рис. 161). Мне этого никак не удавалось сделать.
Рис. 161.
– И неудивительно: ведь в этой фигуре 4 «нечетные» вершины – углы четырехугольника. Бесполезно даже ломать голову над этой задачей: она неразрешима. – А что скажете вы о фигуре, изображенной на рис. 162?
Рис. 162.
– Ее тоже нельзя начертить одной непрерывной линией, потому что у нее 4 вершины, в каждой из которых сходится по 5 линий, т. е. у нее 4 «нечетных» вершины. Зато легко начертить фигуры, показанные на рис. 163 и 164: у них все вершины «четные» (решение для второй фигуры см. на рис. 165). Теперь перейдем к той задаче, которую решает наша муха: обойти по одному разу все ребра октаэдра, не отрывая пера от бумаги.
Рис. 163.
Рис. 164.
На каждой вершине этой фигуры сходятся 4 ребра; в ней вовсе нет «нечетных» вершин.
Рис. 165.
Рис. 166.
Поэтому можно начать путешествовать с любой вершины – вы обязательно возвратитесь в исходную точку. Вот одно из возможных решений (рис. 166).
– А знаете, это интересный род головоломок! Дайте мне десяток подобных задач, я подумаю о них на досуге.
– Извольте.Решения задач 161-170
Из фигур, представленных на рис. 167–176, безусловно, можно начертить непрерывной линией фигуры с рис. 168, 170, 171, 172–176. В этих фигурах во всех точках пересечения сходится четное число линий, следовательно, каждая точка может быть начальной, она же будет и конечной. Выполнение фигур показано на рис. 177–185.
Рис. 167.
Рис. 168.
Рис. 169.
Рис. 170.
Рис. 171.
Рис. 172.
Рис. 173.
Рис. 174.
Рис. 175.
Рис. 176.
Рис. 177.
Рис. 178.
Рис. 179.
Рис. 180.
Рис. 181.
Рис. 182.
Рис. 183.
Рис. 184.
Рис. 185,
Фигура на рис. 167 имеет только две «нечетные» точки – те места, где ручка молотка входит в головку: в этих точках сходится по 3 линии. Поэтому фигуру можно начертить непрерывной линией только в том случае, если начать из одной «нечетной» точки и кончить в другой. То же относится и к фигуре на рис. 169: она содержит только две «нечетные» точки, шип. Они и будут начальной и конечной точкой при черчении. Фигура на рис. 172. имеет более двух «нечетных» точек, а потому ее совершенно невозможно начертить одной непрерывной линией.
Десять разных задач
171. Горизонт
Часто приходится читать и слышать, будто одно из убедительных доказательств шарообразности Земли заключается в том, что линия горизонта повсюду имеет форму окружности, а коль скоро это так, отсюда делается вывод, что Земля наша должна быть шаром.
Подумайте, однако, какую форму имела бы линия горизонта, если бы Земля была не шарообразной, а плоской и бесконечно простиралась бы во все стороны?
172. Рост эзопа [11]
«Уверяют, что Эзопова голова была длиной 7 дюймов, а ноги так длинны, как голова и половина туловища; туловище же равно длине ног с головою.
Спрашивается рост сего славного человека».
173. Где и когда?
Вам, вероятно, знаком бессмысленный стишок:
Рано утром, вечерком,
В полдень, на рассвете…
Неведомый слагатель этих стихов стремился выразить ими заведомую нелепость и подбирал слова, которые противоречили бы одно другому.
Между тем приведенная фраза не совсем бессмысленна; на Земле существуют места, где такое определение времени применительно к некоторому реальному моменту вполне верно.
Где и когда это бывает?
174. Пять обрывков цепи
Кузнецу принесли пять цепей, по три звена в каждой (рис. 186), и велели соединить их в одну цепь.
Прежде чем приняться за дело, кузнец стал думать о том, сколько колец понадобится для этого раскрыть и вновь заковать. Он решил, что четыре.
Нельзя ли, однако, выполнить ту же работу, раскрыв меньше колец?
175. Четырьмя пятерками
Нужно выразить число 16 с помощью 4 пятерок, соединяя их знаками арифметических действий. Как это сделать?
Рис. 186. Обрывки цепи.
176. Вишня
Мякоть вишни окружает ее косточку слоем толщиной в косточку. Будем считать, что и вишня, и косточка имеют форму шариков. Сообразите в уме, во сколько раз объем сочной части вишни больше объема косточки?
177. Дыни
Продаются две дыни. Одна – окружность 72 см – стоит 40 рублей. Другая – окружность 60 см – стоит 25 рублей.
Какую дыню выгоднее купить?
178. Удивительная затычка
В доске выпилены три отверстия: одно – квадратное, другое – круглое, третье – в форме креста (рис. 187). Нужно изготовить затычку такой формы, чтобы она годилась для всех этих отверстий.
Рис. 187. Какой затычкой можно заткнуть все эти дыры?
Вам кажется, что такой затычки быть не может: отверстия чересчур разнообразны по форме. Могу вас уверить, что подобная затычка существует. Попытайтесь найти ее.
179. Модель башни Эйфеля
Башня Эйфеля в Париже, высотой 300 м, из железа, которого пошло на нее 8 000 000 кг. У моего знакомого есть точная модель знаменитой башни, весящая всего только один килограмм.
Рис. 188.
Какой она высоты? Выше стакана или ниже?
181. Муха на ленте
Я взял длинную бумажную ленту, с одной стороны красную, с другой – белую, склеил ее концы и получившееся бумажное кольцо положил на стол.
Мое внимание привлекла муха, севшая на красную сторону ленты и начавшая странствовать по ней. Я стал следить за ее путешествием вдоль ленты и, к изумлению, заметил, что, побродив немного по ленте, она очутилась на противоположной, белой стороне, хотя все время оставалась на ленте и ни разу не переползла через ее край. Продолжая следить за мухой, я вскоре увидел, что она снова оказалась на красной стороне ленты, хотя – могу это утверждать – не покидала ленты, не переступала и не перелетала через ее края.
Не объясните ли вы, как могло это случиться?
Решения задач 171—180
171. Даже если бы Земля была совершенно плоской, линия горизонта была бы окружностью!
Действительно, что такое горизонт? Воображаемая линия, по которой небесный свод пересекается с Землей. Но небесный свод имеет форму шаровой поверхности. По какой же другой линии шаровая поверхность может пересекаться с плоскостью, как не по окружности.
Итак, круглая форма горизонта сама по себе еще не доказывает, что Земля кругла!172. Мы знаем из условия задачи, что длина ног Эзопа равна 7 дюймам (голова) плюс длина половины туловища. Известно еще, что длина туловища равна длине ног плюс 7 дюймов, откуда длина ног равна длине туловища без 7 дюймов. Значит,
