Яков Перельман - Головоломки. Задачи. Фокусы. Развлечения
Буквы сильно вытянуты и сужены, поэтому трудно прочесть их прямо. Но когда ваш взгляд скользит вдоль букв, их длина сокращается, ширина же остается прежняя. От этого буквы получают обыкновенный вид, и написанное читается без труда.
Нельзя или можно? (49)Рассмотрите прилагаемые чертежи, и вы уловите путь, каким надо вести карандаш, чтобы, не отрывая его от бумаги, изобразить требуемые фигуры. Для фигуры креста безразлично, откуда начать рисование, потому что в ней во всех точках пересечения сходятся четное число линий (две или четыре). В остальных двух фигурах надо разыскать «нечетные» точки и из одной из них начинать вырисовывать чертеж.
Путешествие по островам (50)
Маршрут путешествия показан на рисунке. Так как на каждый остров и на берег ведет четное число мостов, то начать странствование можно из любого места.
Три острова (51)
Три пути от рыбачьих поселков к островам показаны на рисунке пунктирными линиями.
Что шире и что выше? (52)
На глаз кажется, что левая фигура шире и ниже, чем правая. Проверив бумажкой, вы убедитесь, что глаза обманули вас: обе фигуры одинаковы и по ширине и по длине. Это обман зрения.
Много ли рыбы? (56)Помогу читателю разыскать добычу удильщика. Одна рыбина покоится головой вниз на спине рыболова. Вторая поместилась между его головой и руками, держащими удилище. Третья расположилась под его ногами.
Фигурки-головоломки (57)Посмотрите дальше, как складываются фигурки, изображенные на стр. 99—105.
Юный сторож (58)
Не умел считать крестьянин. Степка же сосчитал правильно. В самом деле: за 1-й час Степке причитался 1 орех, за 2-й — 2, за 3-й — 4, за 4-й — 8, за 5-й — 16, за 6-й — 32, за 7-й — 64, за 8-й — 128, за 9-й — 256, за 10-й — 512. Пока все вместе составляет немного больше тысячи орехов. Но будем продолжать подсчет: за 11-й час Степке следовало 1 024 ореха, за 12-й — 2 048, за 13-й — 4 096, за 14-й — 8 192, за 15-й — 16 384. Числа получаются изрядные; но какие же тут тысячи тачек? Однако:
за 16-й час причитается 32 768
«17-й ««65 536
«18-й ««131 072
«19-й ««262 144
«20-й ««524 288
Все вместе составляет уже больше миллиона орехов! Но сутки не кончены — остается еще 4 часа.
За 21-й час причитается 1 048 576
«22-й ««2 097 152
«23-й ««4 194 304
«24-й ««8 388 608
А если сложить все 24 часа вместе, то составится 16 777 215 — почти 17 миллионов орехов. Это и будет та тысяча тачек, о которой говорил Степка.
Как получить 20? (60)Вот как это надо сделать (зачеркнутые цифры заменены нулями):
011
000
009
Действительно: 11 + 9 = 20.
Ив семи цифр (61)Задача имеет не одно, а три разных решения. Вот они:
123 + 4–5 — 67 = 55;
1 — 2–3 — 4 + 56 + 7 = 55;
12 — 3 + 45 — 6 + 7 = 55.
Пятью единицами (62)Написать число 100 пятью единицами очень просто:
111 — 11 = 100.
Пятью пятерками (63)5 × 5 × 5 — (5 × 5).
Это равно 100, потому что 125 — 25 = 100.
Пятью тройками (64)33 × 3 + = 100
Пятью двойками (65)22 + 2 + 2 + 2 = 28.
Четырьмя двойками (66)Четырьмя тройками (67)
Мы привели здесь только по одному решению, но можно придумать и еще. Например, число 8 можно составить не только так, как здесь показано, но еще и иначе:
Четырьмя четверками (68)
Который год? (69)
Будет только один такой год в XX веке: 1961-й.
В зеркале (70)Единственные цифры, которые не искажаются в зеркале, — это 1, 0 и 8. Значит, искомый год может содержать в себе только такие цифры. Кроме того, мы знаем, что это один из годов XIX века, т. е. что первые его две цифры 18.
Легко сообразить теперь, какой это год: 1818-й. В зеркале 1818 год превратится в 8181-й: это ровно в 4 1/2 раза больше, чем 1818:
1818 × 41/2 = 8181.
Других решений задача не имеет.
Какие числа? (71)Ответ прост: 1 и 7. Других таких чисел нет.
Сложить и перемножить (72)Таких чисел сколько угодно:
3 × 1 = 3,
3 + 1 = 4,
10 × 1 = 10,
10 + 1 = 11,
и вообще всякая пара целых чисел, из которых одно — единица.
Это потому, что от прибавления единицы число увеличивается, а от умножения на единицу остается без перемены.
Столько же (73)Числа эти 2 и 2. Других целых чисел с такими свойствами нет.
Три числа (74)1, 2 и 3 дают при перемножении и при сложении одно и то же:
1 + 2 + 3 = 6; 1 × 2 × 3 = 6.
Умножение и деление (76)Таких чисел очень много. Например:
2: 1 = 2;
2 × 1 = 2;
7: 1 = 7;
7 × 1 = 7;
43: 1 = 43;
43 × 1 = 43.
Вдесятеро больше (76)Вот еще четыре пары таких чисел:
11 и 110; 14 и 35; 15 и 30; 20 и 20.
В самом деле:
11 × 110 = 1210;
15 × 30 = 450;
11 + 110 = 121;
15 + 30 = 45;
14 × 35 = 490;
20 × 20 = 400;
14 + 35 = 49;
20 + 20 = 40.
Других решений задача не имеет. Довольно хлопотливо разыскивать решения вслепую. Знание начатков алгебры значительно облегчает дело и дает возможность не только отыскать все решения, но и удостовериться, что больше пяти решений задача не имеет.
На что он множил? (77)Рассуждаем так. Цифра 6 получилась от сложения колонки из двух цифр, из которых нижняя может быть либо 0, либо 5. Но если нижняя 0, то верхняя 6. А может ли верхняя цифра быть 6? Пробуем: оказывается, чему бы ни равнялась вторая цифра множителя, никак не получается 6 на предпоследнем месте первого частного произведения. Значит, нижняя цифра предпоследней колонки должна быть 5; тогда над ней стоит 1.
Теперь легко восстановить часть стертых цифр:
Последняя цифра множителя должна быть больше 4, иначе первое частное произведение не будет состоять из четырех цифр. Это не может быть цифра 5 (не получается 1 на предпоследнем мосте). Пробуем 6 — годится. Имеем:
Рассуждая далее подобным же образом, находим, что множитель — 96.
Сестры и братья (78)Всех семеро: четыре брата и три сестры. У каждого брата три брата и три сестры; у каждой сестры четыре брата и две сестры.
Сколько детей? (79)Всех детей семь: шесть сыновей и одна дочь. (Обычно же отвечают, что детей двенадцать; но тогда у каждого сына было бы шесть сестер, а не одна.)
Завтрак (80)Дело объясняется очень просто. Село за стол не четверо, а только трое: дед, его сын и внук. Дед и сын — отцы, а сын и внук — сыновья.
Сколько им лет? (81)Рассчитать, сколько лет каждому, нетрудно. Ясно, что сын старше внука в 7 раз, а дед в 12 раз. Если бы внуку был 1 год, сыну было бы 7 лет, деду — 12 лет, а всем троим вместе 20 лет. Это ровно в 5 раз меньше, чем на самом деле. Значит, в действительности внуку 5 лет, сыну 35 и деду 60.
Проверим: 5+ 35 + 60 = 100.
Землекопы (82)На удочку этой задачи легко попасться: можно думать, что если 5 землекопов в 5 часов вырыли 5 метров канавы, то для выкопки в 100 часов 100 метров понадобится 100 человек. Однако, это совершенно неправильное рассуждение: понадобятся те же 5 землекопов, не больше.
В самом деле: 5 землекопов в 5 часов выкапывают 5 метров; значит, 5 землекопов в 1 час вырыли бы 1 метр, а в 100 часов — 100 метров.
Сколько партий? (83)Обычно отвечают, что каждый играл по одному разу, не соображая, что трое (и вообще нечетное число) игроков никак не могут играть каждый только по одному разу: с кем же тогда играл третий игрок? В каждой партии должно ведь участвовать два партнера. Если играли А, В и С и сыграно было три партии, то это значит, что играли
А с В,
А с С,
В с С.
Легко видеть, что каждый играл не по одному разу, а по два:
А играл с В и с С,
В «с А и с С,
С «с А и с В.
