Владимир Левшин - Путевые заметки рассеянного магистра
— Сколько, оказывается, можно напридумывать алгебр! — засмеялся Нулик.
— Целое множество! — подхватила Таня.
— Вот именно! — обрадовался я. — Это ты к месту сказала. Ведь Кантор назвал свою теорию алгеброй множеств, в отличие от обычной алгебры чисел. Само название «алгебра чисел» говорит о том, что она занимается количественными вычислениями. А вот алгебру множеств интересует не количество, а качество предметов, свойства, их объединяющие.
— Но при чём тут множества? — понукал меня Нулик. — И вообще что это такое — множество?
— Множеством математики называют собрание предметов (или понятий), которые обладают одним и тем же свойством. Вот, например, сидящие в театре во время спектакля люди — это зрители. Зрители образуют множество.
— Значит, ученики в классе — тоже множество, — сообразила Таня.
— И драчуны в классе — тоже множество, — добавил Сева.
— Правильно, — подтвердил я. — Но при этом заметь, что множество драчунов входит в множество учеников класса. Обозначим множество учеников класса буквой А, а множество драчунов — буквой Б. А теперь сложим оба множества. Что мы при этом получим?
— Получим А+Б, — гордо сказал Нулик.
— Верно. Но ведь множество Б входит в множество А. Значит, множество учеников класса при этом сложении ничуть не увеличится. Стало быть, А+Б так и останется А.
— Ну и алгебра! — развёл руками президент. — Совсем не похожа на обыкновенную.
— Как сказать! — возразил я. — В общем, алгебра множеств пользуется теми же правилами, что и алгебра чисел, хотя это и не обычные действия с числами. Ведь если ты возьмёшь множество красных карандашей и обозначишь его А, а затем множество синих карандашей обозначишь Б, то множество всех карандашей, как и в обычной алгебре, будет равно А+Б. И только несколько — именно несколько! — правил у алгебры множеств отличны от обычных.
— Да, но при чём здесь Буль? — возмутилась Таня. — Ведь речь как будто идёт об алгебре Кантора.
— В том-то и дело, что алгебра логики Буля и алгебра множеств Кантора по сути совершенно одинаковы.
— Но, насколько я помню, бульбули утверждали, что А+А=А, — возразил Сева, — а у вашего Кантора А+Б=А. Я пожал плечами:
— Да разве это не одно и то же? Допустим, что в классе драчуны все поголовно. Тогда множество учеников А равно множеству драчунов Б. Иначе говоря, А=Б. Подставим одно вместо другого и увидим, что А+А=А.
— Так вот в чём дело! — обрадовался Нулик. — Теперь я понимаю…
Я развёл руками.
— Ну, раз ты понимаешь, значит, нам самое время вместе с Магистром покинуть племя бульбулей и двинуться дальше.
— Только бы нас не настигли пущенные вслед бумеранги, — пошутила Таня.
— Хорошо, что ты о них вспомнила! — встрепенулся Сева. — Как известно, бумеранги тем и замечательны, что когда их пускают в цель, они возвращаются обратно. Если, конечно, в цель не попали. Так что упасть впереди Магистра бумеранги никак не могли. Разве что они были бракованные… К тому же это оружие австралийское, и вряд ли его применяют в Африке.
Снова поднял руку президент. Я уж, признаться, подумал, что он займётся задачей о ступеньках с мозаикой, но Нулик просто потребовал перерыва: ему, видите ли, необходимо подкрепиться перед походом к водопаду. Обычная история! Как и следовало ожидать, президенту никто не возразил.
«Подкрепление», приготовленное Таней, уничтожалось шумно и весело, после чего Нулик торжественно объявил, что снова готов к научной работе и попросил разрешения высказаться.
— Хочу отметить, — сказал он, — что, поднявшись на гору по канатной дороге, Магистр и впрямь оказался на высоте. Ему надо было сосчитать число камешков, покрывавших ступеньки, то есть найти сумму членов арифметической прогрессии от ста до пятисот. Для этого он воспользовался правилом, изобретённым Гауссом. И напрасно хранитель водопада отказался везти Магистра наверх. Я кончил.
— А я начинаю, — подхватил Олег. — Да будет тебе известно, что вычислять сумму членов арифметической прогрессии умели задолго до Гаусса. Однако правило это в самом деле связано с именем этого замечательного немецкого математика. Говорят, когда Гаусс был ещё школьником, учитель предложил однажды ученикам сложить все целые числа от единицы до сорока. Не успел он продиктовать своё задание, как семилетний Гаусс объявил, что ответ готов. Учитель, конечно, ему не поверил и даже пригрозил наказать за неуместную шутку. Но как же он удивился, когда увидал, что решение и в самом деле совершенно верное! Мальчик заметил, что равно-отстоящие от концов прогрессии числа (1 и 40, 2 и 39, 3 и 38 и так далее) при сложении образуют одно и то же число: 41. А так как таких пар было 20, он умножил 20 на 41 и получил ответ: 820. Так маленький Гаусс своим умом дошёл до того, что было давно известно. Так что именем Гаусса Магистр назвал правило зря. Да и воспользовался он этим правилом неправильно. Верно сложил первое и последнее число, то есть 100 и 500, так же верно разделил сумму 600 на два и получил 300. Но вот дальше стал умножать 300 на число ступенек, которых было не 400, как он думал, а 401. Значит, и камешков на все рисунки ушло не 120000, а 120300.
— Допустим, — согласился президент, — но уж градусник действительно был испорчен. Тут Магистр прав. На вершине скалы мороз, а ртуть поднялась до 28 градусов выше нуля!
— Ай-ай-ай! — Таня укоризненно покачала головой. — А ещё президент. Неужели ты не догадался, что там висел термометр Фаренгейта?
Нулик хихикнул. Его всегда смешат незнакомые иностранные фамилии.
— Какой такой Фаренгейт?
— Вот такой. Немецкий физик XVIII века. Он предложил термометр со шкалой, где точка таяния льда обозначена не нулём, как на градуснике Цельсия, а числом 32. А точка кипения воды — не 100, а 212 градусов. Эта шкала и до сих пор употребляется в Англии и Америке. И 28 градусов по Фаренгейту — это около двух градусов мороза по Цельсию. Не мудрено, что у Магистра озябли руки.
Нулик рассеянно гладил Пончика, который тоже заметно скучал и тихо поскуливал. Видимо, президента уже утомила чересчур интенсивная умственная деятельность, и он довольно вяло воспринял замечание Севы о том, что охотник, встреченный Магистром, никак не мог быть энтомологом, потому что охотился на зверей, а энтомолог — специалист по насекомым.
Между тем Сева заслуживал большего внимания: он прекрасно решил задачу о пойманных охотником зверях, приняв число жирафов за единицу, а число муравьедов за икс. И так как жирафов было больше, чем утконосов, во столько же раз, во сколько утконосов больше, чем муравьедов, то вышло, что утконосов было x^2. Ну, а всего зверей в семь раз больше, чем жирафов. Следовательно, 1+x+x^2=7. Отсюда x+x^2=6.
Оставалось подумать, какое же число, сложенное со своим квадратом, может быть равно шести. Только двойка! 2+2^2=6. Тот же ответ можно получить, если решить по всем правилам квадратное уравнение x+x^2-6=0.
Итак, Сева убедительно доказал, что жирафов было вдвое больше, чем муравьедов, а муравьедов вдвое больше, чем утконосов. А так как Магистр знал, что жирафов было 10, то ясно, что муравьедов охотник поймал 20, а утконосов — 40. А всего зверей оказалось 70. Но самое смешное, что, решив задачу. Сева тут же указал на её бессмысленность, потому что, оказывается, ни муравьеды, ни утконосы в Африке не водятся…
Разбором двух последних ошибок Магистра занялся Олег.
— Допускаю, — сказал он, — что Магистр мог по карте принять озеро Чад за прямоугольник и даже на глазок прикинуть, что стороны его равны 120 и 240 километрам . Но вот назвать сумму сторон прямоугольника не периметром, а параметром это уж ни в какие ворота не лезет! Ведь параметр-постоянная величина, которая может, впрочем, иметь в различных случаях разные значения. Вот, например, в полёте — космический корабль. Чем определяется его орбита? Его параметрами: наибольшим и наименьшим удалениями от Земли, наклоном орбиты, временем обращения вокруг Земли и так далее. Однако эти постоянные величины будут совсем иные при другом полёте. Хотя и в одном полёте космонавт может сам менять параметры своей орбиты.
— И, наконец, последнее, — продолжал Олег. — Магистр назвал луч лазера квазаром. Но ведь это же совершенно разные вещи!
— Кто бы мог подумать! — изумился президент. — Я бы ни за что не отличил.
— Положим, отличил бы, если бы знал, что квазар — невероятно отдалённый от нас небесный объект, а лазер — устройство для получения искусственного луча света.
— Искусственный луч! А зачем он нужен? Какая от него польза?
— Огромная, брат, польза. Тонюсенькая полоска уплотнённого, нерассеивающегося, невидимого света (как только его разглядел Магистр!) обладает, оказывается, невероятными, сказочными свойствами. Лазерный луч изобретён сравнительно недавно, что-то около десяти лет назад. Но он уже нашёл себе самое разнообразное применение. Лазерный луч режет тугоплавкие металлы. Лазерный луч заменяет хирургический скальпель и производит тончайшие глазные операции. Вскоре он заберётся в кинескоп телевизора. Он уже заменил телефонные провода. Волшебный луч!
