Михаил Гаспаров - Занимательная Греция
(Почему «2 в квадрате — 4», — теперь понятно; но почему «2 — квадратный корень из 4»? Слово «корень» ввели в математику уже не греки, а арабы. Они предпочитали представлять мир не геометрическим, как греки, а органическим; и в этом мире из числа 2, как растение из корня, вырастает число 4, а потом 8, а потом 16 и все остальные степени.)
При греческом зрительном воображении приятно было перестраивать числа из фигуры в фигуру: например, представлять число 12 то как длинный узкий прямоугольник 6x2, то как короткий и широкий 3x4. Поэтому греки обращали большое внимание на набор делителей числа. Например, если число равнялось сумме собственных делителей, оно называлось «совершенным». Греки знали четыре таких числа — 6, 28, 496 и 8128. (Если хотите, убедитесь: 6 = 1 + 2 + 3 = 1 x 2 x 3). А если из двух чисел каждое равнялось сумме делителей другого, эти числа назывались «дружащими»: например 220 и 284. (Если хотите, проверьте: 1 + 2 + 4 + 71 + 142 и 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 20 + 11 + 22 + 44 + 55 + 110.) Когда Пифагора спросили, что такое друг, он ответил: «Второй я» — и добавил: «Это как 220 и 284».
Неудобства начинались при обращении с дробями: ведь точку не раздробишь на части. Поэтому греки предпочитали иметь дело не с дробями, а с отношениями: говорили не «одна седьмая часть единицы», а «одна единица от семи». Отношения и пропорции они сортировали с большой любовью. Мы говорим: «Число 20 кратно числу 5», то есть делится на него. А грек мог вдобавок сказать: «Число 20 кратночастно числу 16», то есть делится на разность между ними. Вы знаете: число 4 — это среднее арифметическое чисел 2 и 6, то есть сумма их, деленная пополам. Некоторые, может быть, знают: число 4 — это среднее геометрическое чисел 2 и 8, то есть квадратный корень из их произведения. А грек вдобавок знал: число 4 — это «среднее гармоническое» чисел 3 и 6, то есть их удвоенное произведение, деленное на их сумму.
Когда вы начинали учить алгебру, то заучивали такие формулы, как:
Вы помните, как они выводились? Это было довольно громоздко. А грек со своей привычкой к наглядности доказывал их не вычислением, а чертежом: чертил отрезок А, отрезок В, строил на них квадраты и показывал: «Вот!» Посмотрите и убедитесь.
Такие геометрические доказательства выручали греков в их страхе перед бесконечностью. Вы смогли бы, например, извлечь точный корень из числа 2? Нет, не смогли бы: получили бы бесконечную дробь. А греческий математик поступал просто: чертил отрезок длиной в данное число, строил вокруг квадрат, в котором он был бы диагональю, показывал на сторону этого квадрата и говорил: «Вот!»
В современной математике такие величины, никогда не вычисляемые до конца, называются иррациональными. Греки называли их «невыразимые». «Невыразимым» было отношение диагонали и стороны в квадрате — 1,41421…; «невыразимым» было и отношение длины окружности к диаметру в круге, знаменитое число «пи» — 3,14159… («пи» — это первая буква греческого слова «периферия», окружность). Это число изобразить было труднее, и греческие математики в своей борьбе с бесконечностью век за веком ломали голову над «квадратурой круга»: как по данному диаметру круга с помощью только циркуля и линейки построить квадрат, равновеликий этому кругу?
Можно задать вопрос: а почему, собственно, с помощью только циркуля и линейки? Не попробовать ли изобрести новый прибор, посложнее, который позволил бы решить эту задачу? Но грек нам гордо ответил бы: «Возиться с приборами — это дело раба, привычного к ручному труду, а свободному человеку приличествует полагаться лишь на силу ума».
Вот как, оказывается, рабовладельческий образ мысли проявляется даже в такой отвлеченной науке, как математика.
Четыре стихии
Гераклита и Парменида решил помирить сицилиец Эмпедокл. Он сказал: «Ни война, ни мир на земле не вечны. Так и во вселенной. Они сменяют друг друга, как времена года. Мир шарообразен, но этот шар неоднороден. В нем смешаны четыре стихии: земля, вода, воздух, огонь. А над ними властвуют две силы: Любовь и Вражда. Наступает пора мира — и в центре мирового шара царствует Любовь, она сливает вокруг себя четыре стихии в то самое Единство, о котором мечтал Парменид, а Вражда отступает и лишь снаружи облегает мировой шар. Наступает новая пора — и Вражда со всех сторон начинает проникать в мир, вытесняя из него Любовь, а на пути своем она разобщает четыре стихии, и они встают войной друг на друга. Наконец Вражда восседает в центре мира, вокруг нее кипит гераклитовская война четырех стихий, а Любовь оттеснена наружу и ждет своего часа. А потом все повторяется в обратном порядке. Если это на что-нибудь похоже, то больше всего — на гражданский мир и гражданскую войну в городе, где есть несколько политических партий. Сейчас мир на полпути: то ли от Вражды к Любви, то ли наоборот».
Как Фемистоклу не давали спать лавры Мильтиада, так Эмпедоклу — лавры Пифагора. Он тоже хотел быть пророком и чудотворцем. Когда ему предложили царскую власть, он отверг ее: «Лучшее из растений — лавр, из животных — лев, из людей — мудрец, а вовсе не царь». Держался он еще величавее, чем царь, носил пурпурный плащ, золотую повязку на голове и медные сандалии. Учение свое он изложил стихами и читал эти стихи в Олимпии. А когда в Олимпии его колесница одержала победу на играх, он принес в жертву быка из медового теста и пряностей, потому что пифагорейский закон запрещал убивать животных.
В одном городе люди часто болели оттого, что вода в реке была нездоровой. Эмпедокл провел к ней канал от другой реки, и болезни прекратились. В другом городе вода была здоровой, а люди все равно болели. Эмпедокл догадался, что это оттого, что ветры, дующие на город из-за гор, были нездоровыми; он приказал загородить бычьими кожами ущелья в горах, и болезни прекратились. С этих пор его прозвали «ветроловом». В этом был не только восторг перед его проницательностью, но и насмешка над его тщеславной погоней за почестями. Тщеславен он был до крайности и считал, что равных ему нет на свете. Однажды он сказал Пармениду: «Трудно найти истинного философа!» — «Да, — невозмутимо ответил Парменид, — для этого надо самому быть истинным философом».
Он не хотел умирать, как все люди, а хотел сжечь себя, как Геракл, чтобы сделаться богом. Почувствовав приближение смерти, он вскарабкался на огнедышащую Этну и бросился в ее жерло. Лава выбросила на склон его медную сандалию.
Учение о четырех стихиях Эмпедокл перенял от пифагорейцев. (Вы помните, какими геометрическими фигурами обозначали пифагорейцы эти стихии?) Он рассуждал, как из них строится мироздание, а его современник Алкмеон, тоже пифагореец, рассуждал, как из них строится человеческое тело. В нем четыре жизненных сока: кровь, слизь, желтая желчь и черная желчь. Если между ними равновесие, «равнозаконие», как в хорошем государстве, — человек здоров; если оно нарушено — человек болен. Душевные свойства человека тоже зависят от смешения четырех соков (смешение — по-латыни «темперамент»; может быть, вы слышали это слово). Основных темпераментов — четыре: бодрый — сангвиник, вялый — флегматик, вспыльчивый — холерик, мрачный — меланхолик. Имена эти значат: «кровник», «слизевик», «желчевик» и «черножелчевик»; понятия эти до сих пор употребляются в психологии.
Сто лет спустя в Эмпедокловой четверке тасующихся стихий навел покой и порядок Аристотель. Как он это сделал, мы узнаем после. Самое же любопытное — то, что этими понятиями пользуется и современная наука, только по-другому их называет. Если бы Эмпедокл услышал, как мы говорим: «Есть четыре состояния вещества: твердое, жидкое, газообразное и плазма», — он узнал бы в них свои четыре стихии.
Смеющийся философ
Как современная физика вспоминает таким образом порой о четырех стихиях Эмпедокла, так современная химия — об атомах Демокрита.
У Эмпедокла картина мира была похожа на картину города, раздираемого борьбой четырех партий. Демокрит спросил себя: а откуда берутся сами эти партии? В городе — это понятно: люди сходных мыслей случайно встречаются, знакомятся, начинают держаться вместе, к ним присоединяются новые и новые, и так возникает целое большое общество.
Может быть, так же устроен и мир? Он состоит из частиц, мелких до невидимости и густо носящихся в пустоте, как пылинки в солнечном луче. С течением времени они начинают как бы сортироваться: крупные к крупным, круглые к круглым, треугольные к треугольным. (Почему? Насыпьте на блюдо песок и потрясите: крупные песчинки выйдут наверх, мелкие останутся внизу. Вот так же и мировые частицы.) Так образуются сперва четыре стихии: из крупных частиц — земля, из круглых — огонь и так далее, а потом — отдельные вещи.
Мы не можем видеть эти частицы, но мы их чувствуем: если в теле много гладких частиц, оно кажется глазу светлым, а вкусу сладким, и наоборот. Поэтому не надо, как Парменид, говорить, что мир, ощущаемый нами, — «ненастоящий», и не надо, как Гераклит, горевать, что наш ум не угонится за его изменчивостью. Нужно только быть внимательным и вдумчивым — и мир поддастся изучению.
