Лев Генденштейн - Алиса в стране математики
Вавилонские дроби оказались очень удобными для научных измерений (особенно в астрономии), и этими дробями европейские учёные пользовались даже в эпоху Возрождения: натуральные числа записывались в десятиричной системе — так же, как мы это делаем сегодня, а дроби всё ещё оставались «шестидесятиричными»! Казалось бы, надо сделать всего один шаг, чтобы перейти от шестидесятых и «три тысячи шестисотых» долей к десятым и сотым долям, но этот шаг оказался почему-то очень трудным: десятичные дроби ввёл арабский математик ал-Каши только в XV веке. Однако и тогда эти дроби до Европы не добрались — их ввёл в употребление голландский учёный Стевин только в конце XVI века!
Меры в старину отличались удивительным разнообразием! Скажем, расстояние между деревнями измерялось иногда в курительных трубках: сколько можно выкурить трубок, идя от одной деревни до другой. А в Англии долгое время использовалась мера длины «ярд» — эта мера была установлена указом короля Генриха I и равнялась расстоянию от кончика носа короля до конца среднего пальца его вытянутой руки. Это была очень удобная мера: для проверки ее правильности достаточно было просто позвать короля и попросить его вытянуть руку!
Сегодня мы пользуемся главным образом десятичными дробями, чаще всего — в виде процентов. Слово «процент» происходит от латинского слова «центум» (сто): один процент — это одна сотая часть.
Об отношении древних греков к дробям стоит сказать особо: здесь, как и во многом другом, греки оказались непохожими на других. Греческие купцы и строители пользовались дробями вовсю — как без дробей торговать и строить? А вот учёные дробей не признавали! Греческий учёный Платон, который жил в IV веке до нашей эры, писал: «Если ты захочешь делить единицу, математики высмеют тебя и не позволят это делать».
Как ни странно, причиной такого удивительного непризнания дробей был именно высокий уровень греческой математики: греки считали математику наукой строгой и точной, а дроби представлялись им чем-то приближенным, неточным, и, значит, недостойным настоящего учёного. Единственное исключение сделали для музыки: когда Пифагор создал первую теорию музыки, он связал основные гармонические интервалы — октаву, квинту и кварту с дробями — одной второй, двумя третями и тремя четвертями.
И только Архимед, который много занимался практическими приложениями математики (например, он строил боевые машины для защиты Сиракуз от римлян), решился нарушить запрет на использование дробей в «чистой» науке. При этом он сразу ввёл в употребление дроби общего вида — такие, как пять девятых или двадцать две седьмых, то есть любое число любых долей.
Через шестьсот лет после Архимеда другой греческий математик, Диофант, впервые стал рассматривать дроби как числа, а не как доли какого-то предмета или меры. Однако и после Диофанта прошло ещё больше тысячи лет, прежде чем учёные начали изучать дробные числа «сами по себе».
Так произошло первое увеличение «семьи чисел»: к натуральным числам присоединились дробные. С тех пор продолжают появляться всё новые и новые числа и, пока на свете существуют математики, конца новым числам не будет!
НЕБЫЛИЦА О САДЕ В ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ, КОТОРЫЙ НАЗЫВАЛСЯ АКАДЕМИЕЙ
В Древней Греции когда-то
Был довольно странный сад:
Почему-то не пускали
В этот странный сад ребят!
Там, гуляя по аллеям,
Мудрецами окружён,
Рассуждал о мирозданьи
Их учитель, сам Платон.
Больше двух тысячелетий
С той поры прошло, и вот
Академий стало много —
Им давно утерян счёт.
Но, как прежде, не пускают
В академии детей,
Потому там не бывает
Неожиданных затей,
Ни в одной из академий
Нет весёлых сорванцов,
Ну а в некоторых даже...
Не увидишь мудрецов.
КОРОЛЕВСКАЯ ПРОГУЛКА
— А если бы я не собрала Шалтая-Болтая? — спросила Алиса, когда они с Белым Королём пошли по дороге для королевских прогулок. — Ведь я не смогла бы дать вам торт: у меня ничего нет!
— Ну что ж, — пожал плечами Король, — значит, у тебя стало бы тогда ещё меньше, чем ничего!
— Но разве бывает меньше, чем ничего? — удивилась Алиса.
— Конечно, бывает, — сказал Король. — Например, если ты кому-то должна, у тебя ведь меньше чем ничего, правда?
— Правда, — согласилась Алиса.
— Вот ты и была бы должна мне один торт. Можно сказать, — добавил Король, — что у тебя тогда стал бы минус один торт.
— Минус один? — переспросила Алиса.
— Это число, которое на единицу меньше нуля, — пояснил Король.
— Но разве бывают числа меньше нуля? — ещё больше удивилась Алиса.
— Сколько угодно, — охотно отозвался Король. — Берёшь любое число, большее нуля, скажем, пять, отнимаешь его от нуля — и, пожалуйста — получаешь «минус пять», число, которое на пять меньше нуля! У таких чисел и название есть — отрицательные числа.
— А как называются числа, которые больше нуля? — спросила Алиса.
— Положительные, — ответил Король.
— Значит, отрицательных чисел столько же, сколько положительных? — догадалась Алиса.
— Ровно столько же, — подтвердил Король. — И тех и других бесконечно много!
— А сам нуль — какое число, положительное или отрицательное? — спросила Алиса.
— Нуль — единственное число, которое не положительное и не отрицательное, — сказал Король.
— Так вот почему Шалтай-Болтай согласился теперь быть нулём! — подумала Алиса. — Он ведь так любит быть единственным в своём роде! Но зачем нужно так много отрицательных чисел? — снова спросила она. — Неужели только для долгов?
— Ты, наверное, думаешь, что число может отвечать только на вопрос «сколько?» — предположил Король.
— А на какой же ещё? — удивилась Алиса.
— Если я тебя спрошу, где мы сейчас находимся, что ты ответишь? — поинтересовался Король.
Алиса посмотрела по сторонам в поисках какой-нибудь приметы и обратила внимание, что они с Королём как раз проходят мимо числа «сто».
— Я бы сказала, что мы находимся на дороге для королевских прогулок возле числа «сто», — ответила Алиса.
— Ну вот, ты сама и ответила числом на вопрос «где?»! — воскликнул Король.
— Но ведь это число тоже отвечает на вопрос «сколько?» — возразила Алиса. — Оно говорит, сколько шагов вы сделали, отойдя от нуля.
— Дорога для королевских прогулок идёт от нуля в две стороны, — заметил Король. — Мы с тобой пошли вправо, но ведь могли пойти и влево! Однако если бы я прошёл сто шагов влево от нуля, разве я был бы там, где нахожусь сейчас?
— Конечно, нет! — сказала Алиса. — Вы были бы... — она секунду подумала, — вы были бы за двести шагов отсюда.
— Правильно, — отозвался Король. — Так вот: число «сто» говорит не только о том, сколько шагов я сделал, отойдя от нуля, но и в какую сторону я шел! Ведь «сто» — положительное число, а все положительные числа расположены справа от нуля.
— А сто шагов влево от нуля — это будет «минус сто»? — догадалась Алиса.
— Конечно, — подтвердил Король. — «Сто» и «минус сто» называют противоположными числами: они расположены на равных расстояниях от нуля, но с противоположных сторон.
— Так почему бы не говорить просто «сто шагов влево от нуля» или «сто шагов вправо от нуля»? — спросила Алиса. — По-моему, это было бы понятнее.
— Но зато не так удобно, — возразил Король. — Сейчас дорога размечена так, что когда идёшь вправо, числа всегда увеличиваются, а когда идёшь влево — уменьшаются!
— Даже если идти влево от нуля? — спросила Алиса. — Ведь тогда после числа «минус один» будет число «минус два»...
— Ты, наверное, забыла, что «минус два» на единицу меньше, чем «минус один», — напомнил Король.
— Действительно, забыла, — призналась Алиса. — Но почему мы идём всё дальше и дальше вправо от нуля, если торт принесут к числу «минус тысяча»? — спохватилась она. — Может, нам лучше развернуться и пойти влево — ведь аппетит можно нагуливать, гуляя в любую сторону!
— Во-первых, торт испекут не так скоро, — сказал Король, — а, во-вторых, короли просто так не гуляют. Как ты думаешь, зачем размечена дорога для королевских прогулок?
— Действительно, зачем? — удивилась Алиса.
— Во время прогулок я занимаюсь королевскими делами, и у меня бывают важные встречи, — объяснил Король. — А чтобы удобнее было назначать место встречи, я и приказал разметить эту дорогу.
